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Le reste s’achève sans difficulté. On a, en effet, d’après ce théorème,

${\begin{aligned}\alpha +\beta +\delta &=180,\\[0.75ex]180&=\epsilon +\delta ,\\[0.75ex]\gamma +\epsilon &=180,\end{aligned}}$

Fig. 5

d’où, en faisant la somme de ces égalités,

$\alpha +\beta +\gamma =180.$

Pour ce qui est maintenant de votre démonstration du théorème (1), je commencerai par protester contre l’usage que vous faites d’une grandeur infinie, en la traitant comme une quantité déterminée (vollendeten), ce qui n’est jamais permis en mathématiques. L’infini n’est qu’une façon de parler, parce qu’il s’agit en réalité de limites, dont certains rapports peuvent approcher autant que l’on voudra, tandis que d’autres sont susceptibles de croître indéfiniment. Dans ce sens, la géométrie non-euclidienne ne renferme en elle rien de contradictoire, quoique, à première vue, beaucoup de ses résultats aient l’air de paradoxes. Ces contradictions apparentes doivent être regardées comme l’effet d’une illusion, due à l’habitude que nous avons prise

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