22 — Si deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles, la somme des angles d’un triangle rectiligne quelconque sera égale à
Soient les droites (fig. 9), parallèles entre elles, et perpendiculaires
sur Menons du point les droites
aux points pris sur la droite à des distances quelconques,
Fig. 9
du point En supposant que la somme des trois angles
soit égale à dans le triangle rectangle et à
dans le triangle elle devra être égale, dans le triangle
à et ne pouvant être négatifs. Soient, de plus, les
angles on aura Si l’on
écarte maintenant la ligne de la perpendiculaire on pourra
rendre aussi petit que l’on voudra l’angle compris entre et la
parallèle on pourra de même diminuer l’angle indéfiniment.
Par conséquent, les deux angles et ne peuvent avoir d’autres
valeurs que et
D’après cela, il faut que, dans tous les triangles rectilignes, la somme des trois angles soit égale à et qu’en même temps l’angle de parallélisme soit égal à quelle que soit la distance ou bien il faut que, dans tous les triangles, la somme des angles soit et qu’on ait en même temps
La première hypothèse sert de fondement à la Géométrie ordinaire et à la Trigonométrie plane, La seconde hypothèse peut être également admise, sans conduire à aucune espèce de contradiction dans les résultats, et elle est la base d’une nouvelle théorie géométrique, à laquelle j’ai donné le nom de Géométrie imaginaire, et que je
