Monsieur
La quadrature Arithmétique du Cercle et de ses segments ou secteurs, que j’ay trouvée et communiquée à plusieurs excellens Geometres il y a déjà quelques années, leur a paru assez extraordinaire, et ils m’ont exhorté d’en faire part au public. Mais comme je n’aime pas d’écrire un volume farci d’un grand nombre de propositions repassées pour donner une seule qui soit nouvelle et considérable, j’ay recours à Vostre Journal qui nous donne le moyen de publier un theoreme sans faire un livre.
Quadrature Arithmétique est, qui exprime la grandeur de la figure proposée par un rang infini de nombres rationaux ou commensurables à une grandeur donnée, ce qui suffit pour l’Arithmetique lorsqu’on ne le sçauroit faire par un nombre rationel fini, car l’arithmetique ne connoist les nombres irrationaux qu’autant qu’elle les peut exprimer par les rationels soit finis soit infinis. Et il n’est pas difficile de donner même un rang infini de nombres rationaux égal à une racine sourde, ce que je croy d’avoir fait le premier, en …[1] la division dans une extraction continuée.
La quadrature Arithmétique du Cercle et de ses parties peut estre comprise dans ce theoreme : Le rayon du Cercle estant l’unité, et la tangente BC de la moitié BD d’un arc donné BDE estant appellée b, la grandeur de l'arc sera : b/1 - b2/3 + b5/5 - b7/7 + b9/9 - b11/11 etc. Or les arcs estant trouvez, il est aisé de trouver les espaces, et le corollaire de ce theoreme est que le Diametre et son quarré estant 1, le Cercle est 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 etc. L’usage de cette quadrature est qu’outre la beauté d’un theoreme aussi simple et aussi surprenant que celuy-ci, vous avons un moyen de trouver les angles par les costez et à rebours ; item les espaces ou portions des Cercles, Ellipses, Cones, Spheres, Spheroides et de leur sur-
- ↑ Ein unleserliches Wort.
