80 CHAPITRE III.
et
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C’est la formule sommatoire d’Euler et Maclaurin. Pour l’appliquer, il est bon de remarquer que l’on a
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de sorte que, quand a un signe constant, le reste est au plus égal, en valeur absolue, au dernier terme régulier conservé.
La formule d’Euler et Maclaurin s’applique facilement dans deux cas : quand f est indéfiniment dérivable et que R m tend vers zéro quand m croît, alors la formule conduit au calcul d’une série convergente ; quand cette série existe, mais est divergente, elle peut encore servir au calcul si ses termes commencent à décroître pour croître ensuite, car on obtient alors une valeur approchée de la quantité à calculer en prenant la somme de tous les termes jusqu’au plus petit. Ce procédé, qui n’est légitimé ici que si la dérivée / (amJ correspondant au reste négligé est de signe constant, est employé, comme l’on sait, pour beaucoup de séries divergentes, la série de Stirling par exemple.
L’emploi de la formule sommatoire d’Euler et Maclaurin suppose que l’on a calculé les Y 20t et les B a ; ce calcul peut se faire à l’aide de la formule même. Si l’on y fait /(8) = 8 am , a = o, 6==i, u> = i, on aura une formule de récurrence entre les ni premiers nombres Y 2/w . De cette formule on déduira facilement que les Y et les B sont rationnels.
43. Sommes de Gauss. — Dirichlet a fait connaître un procédé de calcul des sommes de Gauss,
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qui utilise la formule de Poisson (Journal de Crelle, t. 18 et 21).
Les sommes à calculer constituent la partie réelle et le coefficient de i dans l’expression
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