98 CHAPITRE IV.
dans le dernier membre, le multiplicateur de L est ce que devient i n quand f{§) est constante et égale à i , donc ce multiplicateur égale i. De ce raisonnement et d’un raisonnement analogue on déduit que <x w est comprise entre les limites inférieure et supérieure de /.
Supposons maintenant que f soit comprise entre l et L quand on ne s’occupe que de (x — h, x -- A), alors, en modifiant f à l’extérieur de cet intervalle de façon qu’elle soit partout comprise entre / et L, on ne modifie <r,i(x) que d’une quantité qui tend vers zéro quand n croît, donc : les limites inférieure et supérieure de la fonction f au point x 2 comprennent entre elles toutes les limites vers lesquelles tendent <T n (x 2 ) quand n croit indéfiniment. Par suite, l’intervalle, qui a pour origine et pour extrémité la plus petite et la plus grande des limites des sommes successives y pour x = x 2 , de la série de Fourier de f(x), a toujours au moins un point commun avec V intervalle qui a pour origine et pour extrémité la limite inférieure et la limite supérieure de f au point x«.
52. Multiplication. — Pour pouvoir utiliser une série il ne suffit pas de savoir lui attribuer une somme, il faut encore savoir effectuer sur elle certaines opérations simples.
Il est évident que la série de Fourier de a f_1 + b f_2 , a et b étant des constantes, s’obtient par l’addition des séries de Fourier de f_1 et f_2 multipliées respectivement par a et b. Il est plus difficile de former la série de Fourier de f_1 f_2 = F. Nous poserons
f_1 ~ ...
f_2 ~ ...
F ~ ...
nous nous bornerons au cas où f_1 et f_2 sont bornées ce qui permet d’affirmer que F a une série de Fourier si f_1 et f_2 en ont une.
