83
LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.
Alors
,
;
la fonction 
étant continue s’annule entre 
et 
; soit 
la plus grande des valeurs comprises entre et 
qui annule . On a évidemment
.
On peut conclure de là que est un point de 
.
En effet, nous avons démontré (p. 79), que pour tout point n’appartenant pas à , on a
![{\displaystyle \Lambda _{d}[f_{1}(x)-f_{2}(x)]\geqq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0697e4dbca4b99f2aa17ad8a4ea6c57974531936)
;
donc pour ces points on a
.
À chaque valeur 
de l’intervalle ![{\displaystyle {\left[0,{\frac {\mathrm {H} }{2(b-a)}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a2522e8dd080a7304774527a99dd18601e49443)
correspond ainsi un point de . Mais, si et 
sont différents, et 
le sont ; car l’égalité
entraîne
et est différent de .
Donc, pour que l’égalité (1) soit possible, il faudrait que ait la puissance du continu[1].
Une conséquence de cette propriété, signalée par Ludwig Scheeffer, est qu’une fonction est déterminée quand on connaît sa dérivée, finie, pour toutes les valeurs irrationnelles. Mais une fonction n’est pas déterminée quand on connaît, pour chaque valeur rationnelle de 
, la valeur finie de sa dérivée. Pour le prouver, soient 
, 
, … les nombres rationnels positifs. Traçons un intervalle 
de longueur incommensurable, ayant comme milieu. Soit 
le premier des 
ne faisant pas partie de ; traçons un
- ↑ La démonstration précédente est, à très peu près, celle de L. Scheeffer. J’ai respecté aussi son énoncé, mais il est bon de remarquer que la démonstration suppose seulement que n’a pas la puissance du continu, ce qui ne signifie peut-être pas que soit dénombrable.
