Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/98

82

CHAPITRE V.

Nous aurons un résultat analogue toutes les fois que nous connaîtrons un ensemble solution de l’un des problèmes suivants :

D. En quel ensemble de points suffit-il de connaître la dérivée finie d’une fonction pour que cette fonction soit déterminée à une constante additive près ?

D′. En quel ensemble de points suffit-il de connaître la valeur finie du nombre dérivé supérieur à droite d’une fonction pour que cette fonction soit déterminée à une constante additive près ?

Nous venons de citer une famille d’ensembles répondant à la question : les ensembles complémentaires des ensembles réductibles ; c’est-à-dire ceux qu’on obtient en enlevant les points d’un ensemble réductible de l’intervalle considéré. On doit à Ludwig Scheeffer une solution plus générale :

Une fonction est déterminée, à une constante additive près, quand on connaît pour chaque valeur de $x$, sauf peut-être pour celles d’un ensemble dénombrable $\mathrm {D}$, la valeur finie du nombre dérivé supérieur à droite de cette fonction.

Soient $f_{1}(x)$ et $f_{2}(x)$ les deux fonctions ayant en général le même nombre dérivé supérieur à droite fini ; nous allons démontrer que l’on a toujours

$f_{1}(x)-f_{2}(x)=f_{1}(a)-f_{2}(a)$,

et pour cela nous démontrerons que l’égalité

(1)

$f_{1}(b)-f_{2}(b)=f_{1}(a)-f_{2}(a)-\mathrm {H}$,

où $\mathrm {H}$ est différent de zéro, est impossible. Il suffit de considérer le cas où $\mathrm {H}$ est positif, puisque l’autre cas se réduit à celui-là par le changement de $f_{1}$ et $f_{2}$ ; de même on peut supposer ${b>a}$.

Considérons la fonction

$\phi _{c}(x)=c(x-a)+f_{1}(x)-f_{2}(x)-f_{1}(a)+f_{2}(a)+{\frac {\mathrm {H} }{2}}$,

dans laquelle $c$ est une constante telle que

$0<c<{\frac {\mathrm {H} }{2(b-a)}}$.