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CHAPITRE V.

tion continue ${f_{2}(x)=f_{1}(x)+\xi (x)}$ aura en tout point la même dérivée que $f_{1}(x)$ sans en différer par une constante.

Pour construire $f_{1}(x)$, rangeons les intervalles contigus à $\mathrm {Z}$ en suite infinie ; leurs longueurs formeront, par exemple, la suite :

$\delta _{1}={\frac {1}{3}}$,$\delta _{2}=\delta _{3}={\frac {1}{3^{2}}}$,$\delta _{4}=\delta _{5}=\delta _{6}=\delta _{7}={\frac {1}{3^{3}}}$,…

Si cet ordre a été adopté, la série $\textstyle \sum (\delta _{i})^{k}$ sera convergente pour $k$ plus petit que un et assez voisin de un, d’une façon précise dès que ${\frac {2}{3^{k}}}$ sera plus petit que un. Supposons $k$ ainsi choisi et définissons $f_{1}(x)$.

Si $x$ est point de $\mathrm {Z}$, nous prendrons

$f_{1}(x)=2^{1-k}\textstyle \sum _{0}^{x}(\delta _{n})^{k}$,

la sommation étant étendue aux intervalles $\delta _{n}$ compris entre 0 et $x$. Si ${(\alpha ,\beta )}$ est un intervalle contigu à $\mathrm {Z}$, nous prendrons

$f_{1}(x)=f_{1}(\alpha )+(x-\alpha )^{k}$,pour $\alpha \leqq x\leqq {\frac {\alpha +\beta }{2}}$

et

$f_{1}(x)=f_{1}(\beta )-(\beta -x)^{k}$,pour ${\frac {\alpha +\beta }{2}}\leqq x\leqq \beta$.

Il est clair que $f_{1}(x)$ est continue au point ${\frac {\alpha +\beta }{2}}$, car

$f_{1}(\beta )-f_{1}(\alpha )=2^{1-k}(\beta -\alpha )^{k}=2\left({\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)^{k}$ ;

et qu’elle y admet une dérivée déterminée.

La fonction $f_{1}(x)$ est donc continue dans (0, 1), constamment croissante et elle admet une dérivée déterminée et finie en tous les points n’appartenant pas à $\mathrm {Z}$. Nous allons démontrer qu’aux points de $\mathrm {Z}$ elle a une dérivée égale à $+\infty$.

Soient $x_{0}$ et $x_{1}$, ${x_{0}<x_{1}}$, deux points de $\mathrm {Z}$. On a :

${\begin{aligned}f_{1}(x_{1})-f_{1}(x_{0})&=\textstyle 2^{1-k}\sum _{x_{0}}^{x_{1}}(\delta _{n})^{k}>\textstyle 2^{1-k}\left(\sum _{x_{0}}^{x_{1}}\delta _{n}\right)^{k}\\&>\textstyle \left(\sum _{x_{0}}^{x_{1}}\delta _{n}\right)^{k}=(x_{1}-x_{0})^{k}\end{aligned}}$

car, puisque $k$ est plus petit que un, on a

$\textstyle \sum _{x_{0}}^{x_{1}}(\delta _{n})^{k}>\left(\sum _{x_{0}}^{x_{1}}\delta _{n}\right)^{k}$.