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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

C′. Trouver une fonction connaissant son nombre dérivé supérieur à droite.

Nous allons d’abord préciser l’indétermination de la solution du problème C′ en démontrant qu’une fonction est déterminée, à une constante additive près, quand on connaît la valeur finie de l’un des nombres dérivés pour chaque valeur de la variable.

Soient, en effet, deux fonctions $f_{1}(x)$ et $f_{2}(x)$ ayant en chaque point le même nombre dérivé supérieur à droite. Nous avons, par hypothèse,

$\Lambda _{d}f_{1}(x)=\Lambda _{d}f_{2}(x)$

et aussi

$\lambda _{d}[-f_{2}(x)]=-\Lambda _{d}f_{2}(x)$,

comme on le voit en se reportant à la définition géométrique ou analytique des nombres dérivés. Cette définition fournit aussi l’inégalité

$\lambda _{d}[f_{1}(x)-f_{2}(x)]\leqq \Lambda _{d}f_{1}(x)+\lambda _{d}[-f_{2}(x)]\leqq \Lambda _{d}[f_{1}(x)-f_{2}(x)]$,

dans laquelle le terme du milieu est nul.

La fonction ${f_{1}(x)-f_{2}(x)}$ n’a donc jamais ses deux nombres dérivés à droite différents de zéro et de même signe, elle est constante.

Notre proposition est démontrée. La démonstration ne suppose pas que la fonction soit à nombres dérivés bornés, mais elle suppose que le nombre dérivé donné est fini, sans quoi le terme du milieu, dans l’inégalité qui nous a servi, n’aurait aucun sens.

La proposition n’est d’ailleurs plus nécessairement vraie quand la valeur connue du nombre dérivé, ou de la dérivée, n’est pas partout finie ; d’une façon précise, on peut citer deux fonctions $f_{1}(x)$ et $f_{2}(x)$ continues, ayant en tout point la même dérivée, déterminée en grandeur et signe mais non partout finie, et dont la différence n’est pas une constante.

À cet effet, reprenons l’ensemble $\mathrm {Z}$ de la page 27 et la fonction $\xi (x)$ de la page 56. $\xi (x)$ est continue, croissante ; elle a une dérivée nulle dans chaque intervalle contigu à $\mathrm {Z}$, elle a des nombres dérivés positifs ou nuls aux points de $\mathrm {Z}$. Si donc on trouve une fonction continue $f_{1}(x)$ ayant une dérivée déterminée en tout point, cette dérivée étant $+\infty$ aux points de $\mathrm {Z}$, la fonc-