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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.
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d’autres points où ils sont négatifs et non nuls. Si dans les figures 2 et 3, on suppose , les deux nombres dérivés au point , intérieur à , sont en effet différents de zéro, et positifs.

La réciproque peut s’énoncer sous la forme suivante : si l’on sait que les deux nombres dérivés à droite (ou à gauche) de ne sont jamais tous deux différents de zéro et de même signe, est une constante[1].

Parmi les fonctions continues il faut remarquer les fonctions à nombres dérivés bornés qui possèdent beaucoup des propriétés des fonctions dérivables. Cette classe de fonctions comprend les intégrales indéfinies des fonctions bornées. Les fonctions à nombres dérivés bornés sont celles pour lesquelles on a toujours

,

est un nombre fixe. Cette inégalité, connue sous le nom de condition de Lipschitz, intervient dans presque tous les raisonnements sur l’existence des solutions des équations différentielles. Ceci montre l’importance pratique des fonctions à nombres dérivés bornés.

Nous reviendrons au Chapitre IX sur l’étude de ces fonctions ; pour le moment il suffira d’en signaler une propriété immédiate :

Une fonction à nombres dérivés bornés et inférieurs en valeur absolue à est à variation bornée, sa variation totale étant au plus dans un intervalle d’étendue .

Soit maintenant une courbe rectifiable

,,,

définie dans , et soit son arc de à .

L’équation peut être résolue en quand est dans l’intervalle  ; elle n’admet qu’une solution, sauf le cas où , , seraient constantes à la fois dans un intervalle. Sauf dans ce cas, est une fonction croissante bien déterminée,

,,
  1. Cette propriété correspond à la suivante : Si la dérivée d’une fonction continue est nulle quel que soit dans , la fonction est constante.