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LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

S’il n’en est pas ainsi et s’il existe des points de la courbe $\mathrm {C}$ au-dessus de $\mathrm {AB}$ (c’est-à-dire du côté de ${y=+\infty }$), je déplace la droite $\mathrm {AB}$ parallèlement à elle-même en $\mathrm {A'B'}$ de manière qu’elle coupe $\mathrm {C}$.

Au-dessus de $\mathrm {A'B'}$ il y a des arcs de $\mathrm {C}$, soit $\mathrm {PQ}$ l’un d’eux. Au point $\mathrm {P}$ de $\mathrm {A'B'}$, $\Lambda _{d}$ et $\lambda _{d}$ sont évidemment supérieurs ou au moins égaux au coefficient angulaire de $\mathrm {PQ}$, c’est-à-dire à ${r[f(x),a,b]}$ et la propriété est démontrée dans ce cas.

Enfin si $\mathrm {C}$ n’a pas de point au-dessus de $\mathrm {AB}$ (fig. 3), je déplace Fig. 3.
$\mathrm {AB}$ parallèlement à elle-même vers ${y=-\infty }$, et soit $\mathrm {A'B'}$ la dernière position dans laquelle elle ait des points communs avec $\mathrm {C}$. Si $\mathrm {C}$ est l’un quelconque de ces points, en ce point $\Lambda _{d}$ et $\lambda _{d}$ sont au moins égaux à ${r[f(x),a,b]}$ ; la propriété est démontrée dans tous les cas. Dans l’un et l’autre cas de figure nous avons raisonné sur un arc $\mathrm {P} p$, d’origine $\mathrm {C}$, et situé au-dessus de la parallèle à $\mathrm {AB}$ menée par $\mathrm {P}$. Nous avons, de plus, en vue de la suite, pris $\mathrm {P}$ différent de $\mathrm {A}$.

Du théorème précédent il résulte que les quatre nombres dérivés ont la même limite supérieure et la même limite inférieure dans tout intervalle.

Comparons, en effet, les limites supérieures $\mathrm {L}$ et $\mathrm {L'}$ de $\Lambda _{d}$ et $\lambda _{g}$. Puisque $\Lambda _{d}$ a pour limite $\mathrm {L}$ et que $\Lambda _{d}$ est la limite de rapports

de cet intervalle tel que

$f(b)-f(a)=f'(\xi )[b-a]$

Cet énoncé ne suppose pas que $f'(x)$ soit bornée ou même finie, mais si $f'(x)$ est infinie, ce doit être $+\infty$, ou $-\infty$, et non pas $\pm \infty$.