admet la valeur commune de et pour dérivée, quand , quel que soit le nombre .
Il existe pour les nombres dérivés une proposition analogue au théorème des accroissements finis[1] :
Si et sont les limites supérieure et inférieure de l’un quelconque des quatre nombres dérivés de la fonction dans , on a
Je suppose que et soient relatifs à ; les autres cas se ramènent à celui-ci, car on a évidemment :
.
Je suppose donc que et sont les limites de ; pour démontrer la seconde inégalité, il me suffira de prouver qu’il existe des valeurs de au moins égales à
J’adopte pour cela le langage géométrique parce qu’il me paraît plus expressif ; on le traduira facilement si l’on veut en langage analytique.
La propriété est évidente si la courbe qui représente se réduit à la corde joignant ses extrémités (fig. 2).
- ↑ On sait que ce théorème s’énonce ainsi :
Si une fonction est continue dans l’intervalle , et admet une dérivée bien déterminée pour chaque valeur de intérieure à , il existe un nombre