Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/90

74

CHAPITRE V.

$f(x)$ admet la valeur commune de ${f(\alpha -0)}$ et ${f(\alpha +0)}$ pour dérivée, quand ${x=\alpha }$, quel que soit le nombre $f(\alpha )$.

Il existe pour les nombres dérivés une proposition analogue au théorème des accroissements finis^[1] :

Si $\mathrm {L}$ et $l$ sont les limites supérieure et inférieure de l’un quelconque des quatre nombres dérivés de la fonction $f(x)$ dans ${(a,b)}$, on a

$l\leqq r[f(x),a,b]\leqq \mathrm {L}$.

Je suppose que $l$ et $\mathrm {L}$ soient relatifs à $\Lambda _{d}$ ; les autres cas se ramènent à celui-ci, car on a évidemment :

$\lambda _{d}[f(x)]=-\Lambda _{d}[-f(x)]$,$\lambda _{g}[f(x)]=-\Lambda _{g}[-f(x)]$,
$\Lambda _{g}[f(x)]=\Lambda _{d}[f(-x)]$.

Je suppose donc que $l$ et $\mathrm {L}$ sont les limites de $\Lambda _{d}$ ; pour démontrer la seconde inégalité, il me suffira de prouver qu’il existe des valeurs de $\Lambda _{d}$ au moins égales à

$r[f(x),a,b]$.

J’adopte pour cela le langage géométrique parce qu’il me paraît plus expressif ; on le traduira facilement si l’on veut en langage analytique.

Fig. 2.

La propriété est évidente si la courbe $\mathrm {C}$ qui représente $f(x)$ se réduit à la corde $\mathrm {AB}$ joignant ses extrémités (fig. 2).

1. On sait que ce théorème s’énonce ainsi :

   Si une fonction $f(x)$ est continue dans l’intervalle ${(a,b)}$, et admet une dérivée bien déterminée pour chaque valeur de $x$ intérieure à ${(a,b)}$, il existe un nombre $\xi$