PRÉFACE
DE LA DEUXIÈME ÉDITION.
Lorsque, il y a déjà deux ans, la maison Gauthier-Villars m’a informé que la première édition de ces Leçons était épuisée, j’ai été fort embarrassé. Comment conserver à ce Livre son caractère de revue des principales conceptions de l’intégrale et des résultats acquis dans la recherche des fonctions primitives, sans le grossir des nombreux travaux publiés sur ces sujets durant vingt-trois années ?
Il me fallait choisir. J’ai écarté résolument tout ce qui ne concourrait pas directement à « faire comprendre ». Si, par exemple, j’ai parlé de l’intégration terme à terme des séries c’est que la possibilité de cette opération découle directement des propriétés qui caractérisent l’intégrale et qu’elle éclaire celles-ci ; c’est que, lorsque l’on considérait l’intégrale comme la somme d’une infinité d’indivisibles, on utilisait une extension de la notion de somme à certains égards comparable à celle qui donne la somme d’une série et que ces deux extensions sont intimement liées. Mais je n’ai pas parlé des procédés d’intégration par parties et par substitutions, du second théorème de la moyenne, de l’inégalité de Schwarz et de ses généralisations, indispensables pourtant pour l’utilisation mathématique de l’intégrale.
La généralisation est l’un des meilleurs moyens de « faire comprendre » en mathématiques ; alors que, sur le cas particulier, on est gêné par tous les faits que l’on peut observer et qui ne sont propres qu’à ce cas particulier, dans le cas général il n’y a plus rien à observer en dehors des faits mêmes sur
