En donnant à des valeurs positives, on définit les deux nombres dérivés à droite ou extrêmes oscillatoires postérieurs.
Ces quatre nombres, qui ne sont pas nécessairement finis, se notent
si l’on veut rappeler la fonction et la valeur dont il s’agit on écrit , [1].
La signification géométrique de ces nombres est simple. Soit la courbe , considérons l’arc de cette courbe correspondant à l’intervalle ; supposons-le positif. Toutes les droites joignant à un point quelconque de sont toutes les droites d’un certain angle . Faisons tendre vers zéro, l’angle varie de telle manière que, pour la valeur , il contient tous les angles correspondant aux valeurs inférieures à .
Ceci suffit pour qu’on en conclue l’existence de droites limites , pour et . Les coefficients angulaires de ces deux droites limites sont les nombres dérivés à droite.
On pourra faire la figure pour la courbe ; pour les deux nombres dérivés inférieurs sont égaux à −1 et les deux nombres dérivés supérieurs sont égaux à +1. Pour cette courbe l’angle est fixe. Au contraire, il varie pour la fonction
qui admet les mêmes nombres dérivés que la précédente pour .
Les nombres dérivés peuvent remplacer dans certaines études les dérivées ordinaires. Dans l’étude de la variation d’une fonction par exemple : si les nombres dérivés sont tous quatre positifs, la fonction est croissante ; si les deux nombres dérivés postérieurs sont positifs, la fonction est croissante à droite ; si les deux dérivés postérieurs sont positifs et les deux antérieurs négatifs, la fonction admet un minimum pour ; si les deux nombres dérivés à droite sont de signes contraires, la fonction n’est ni crois-
- ↑ On emploie aussi quelquefois les notations , , , ou , , , .