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CHAPITRE V.

Les corrections sont expliquées en page de discussion

En donnant à $h$ des valeurs positives, on définit les deux nombres dérivés à droite ou extrêmes oscillatoires postérieurs.

Ces quatre nombres, qui ne sont pas nécessairement finis, se notent

\lambda _{g}

,

\Lambda _{g}

,

\lambda _{d}

,

\Lambda _{d}

;

si l’on veut rappeler la fonction $f$ et la valeur $x_{0}$ dont il s’agit on écrit $\lambda _{g}f(x_{0})$ , $\Lambda _{g}f(x_{0})$ ^[1].

La signification géométrique de ces nombres est simple. Soit la courbe ${y=f(x)}$ , considérons l’arc $\mathrm {AB}$ de cette courbe correspondant à l’intervalle ${(x_{0},x_{0}+h)}$ ; supposons-le positif. Toutes les droites joignant $\mathrm {A}$ à un point quelconque de $\mathrm {AB}$ sont toutes les droites d’un certain angle $\mathrm {XAY}$ . Faisons tendre $h$ vers zéro, l’angle $\mathrm {XAY}$ varie de telle manière que, pour la valeur $h$ , il contient tous les angles correspondant aux valeurs inférieures à $h$ .

Ceci suffit pour qu’on en conclue l’existence de droites limites $\xi \mathrm {A}$ , $\eta \mathrm {A}$ pour $\mathrm {XA}$ et $\mathrm {YA}$ . Les coefficients angulaires de ces deux droites limites sont les nombres dérivés à droite.

On pourra faire la figure pour la courbe ${y=x\sin {\frac {1}{x}}}$ ; pour ${x=0}$ les deux nombres dérivés inférieurs sont égaux à −1 et les deux nombres dérivés supérieurs sont égaux à +1. Pour cette courbe l’angle $\mathrm {XAY}$ est fixe. Au contraire, il varie pour la fonction

y=x\sin {\frac {1}{x}}+x^{2}\sin {\frac {1}{x}}

,

qui admet les mêmes nombres dérivés que la précédente pour ${x=0}$ .

Les nombres dérivés peuvent remplacer dans certaines études les dérivées ordinaires. Dans l’étude de la variation d’une fonction par exemple : si les nombres dérivés sont tous quatre positifs, la fonction est croissante ; si les deux nombres dérivés postérieurs sont positifs, la fonction est croissante à droite ; si les deux dérivés postérieurs sont positifs et les deux antérieurs négatifs, la fonction admet un minimum pour ${x=x_{0}}$ ; si les deux nombres dérivés à droite sont de signes contraires, la fonction n’est ni crois-

↑ On emploie aussi quelquefois les notations $\mathrm {D} _{-}$ , $\mathrm {D} ^{-}$ , $\mathrm {D} _{+}$ , $\mathrm {D} ^{+}$ ou $d_{-}$ , $\mathrm {D} _{-}$ , $d_{+}$ , $\mathrm {D} _{+}$ .

[1] On emploie aussi quelquefois les notations $\mathrm {D} _{-}$ , $\mathrm {D} ^{-}$ , $\mathrm {D} _{+}$ , $\mathrm {D} ^{+}$ ou $d_{-}$ , $\mathrm {D} _{-}$ , $d_{+}$ , $\mathrm {D} _{+}$ .

[1]