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CHAPITRE V.

LA RECHERCHE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

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I. — L’intégrale indéfinie.

Soit $f(x)$ une fonction bornée intégrable définie dans ${(a,b)}$ ; la fonction

$\mathrm {F} (x)=\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} x+\mathrm {K}$

est l’intégrale indéfinie de $f(x)$.

En appliquant le théorème de la moyenne on voit que l’intégrale indéfinie de $f(x)$ est une fonction continue, à variation bornée^[1], et qu’elle admet $f(x)$ pour dérivée en tous les points où $f(x)$ est continue.

Que se passe-t-il au point $\alpha$ si $f(x)$ n’y est pas continue ? Alors il se peut qu’il y ait une dérivée égale à $f(\alpha )$, c’est le cas pour ${\alpha =0}$ si $f(x)$ est nulle pour $x$ quelconque, et égale à 1 quand $x$ est l’inverse d’un entier ; il se peut qu’il y ait une dérivée différente de $f(\alpha )$, c’est le cas pour ${\alpha =0}$ quand $f(x)$ est partout nulle sauf pour ${x=0}$ ; il se peut qu’il n’y ait pas de dérivée, c’est le cas pour ${\alpha =0}$ quand ${f(x)=\cos {{\mathcal {L}}|x|}}$ pour ${x\neq 0}$ et ${f(0)=0}$^[2].

Ainsi l’intégration peut conduire à des fonctions n’ayant pas

1. Je laisse au lecteur le soin de démontrer que la variation totale de $\mathrm {F} (x)$ dans ${(a,b)}$ est exactement égale à ${\left\vert \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x\right\vert }$. Cette proposition a d’ailleurs été démontrée incidemment (p. 65) car elle est un cas particulier de celle relative à la longueur d’une courbe $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$, lorsque $x'(t)$, $y'(t)$, $z'(t)$ sont intégrables. Il suffit en effet de considérer la courbe ${x(t)\equiv f(t)}$, ${y(t)\equiv z(t)\equiv 0}$.
2. L’intégrale indéfinie est alors ${\frac {x}{2}}(\sin {{\mathcal {L}}|x|}+\cos {{\mathcal {L}}|x|})$.