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CHAPITRE IV.
on se rapproche d’un point limite , à partir duquel on opère de même qu’à partir de .
On a ainsi des intervalles dont les origines ont pour indices les différents nombres finis et transfinis . Il faut démontrer qu’on arrivera en avant d’avoir épuisé la suite des nombres transfinis, c’est-à-dire à l’aide d’une infinité dénombrable d’intervalles . Cela est tout à fait évident, car il n’y a pas plus de intervalles de longueur supérieure à , et tous les intervalles, étant supérieurs en longueur à l’un des nombres 1, 1/2, 1/3, …, forment un ensemble fini ou dénombrable.
L’ensemble des valeurs , , … est réductible, puisqu’il est fermé et dénombrable ; donc on peut se servir des cordes tracées pour évaluer la longueur de la courbe. La somme des longueurs de ces cordes diffère de la somme
,
au plus de
.
Si nous faisons tendre simultanément et vers zéro, tend vers zéro, la somme des longueurs des cordes tend vers la longueur de la courbe, tend donc vers . Mais, d’après la forme de , on peut écrire, si est bornée,
.
Supposons maintenant que , bornée ou non, soit la dérivée d’une fonction . Si nous avons choisi chaque intervalle de manière qu’il satisfasse, non seulement aux conditions, précédemment indiquées, mais encore, ce qui est possible, à l’inégalité
,
tend vers l’accroissement de dans quand et tendent simultanément vers zéro. On a donc
.
La longueur de l’arc est l’accroissement de la fonction .