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CHAPITRE IV.

on se rapproche d’un point limite $t_{2\omega }$, à partir duquel on opère de même qu’à partir de $t_{\omega }$.

On a ainsi des intervalles dont les origines $t_{\alpha }$ ont pour indices les différents nombres finis et transfinis $\alpha$. Il faut démontrer qu’on arrivera en $b$ avant d’avoir épuisé la suite des nombres transfinis, c’est-à-dire à l’aide d’une infinité dénombrable d’intervalles ${(t_{\alpha },t_{\alpha +1})}$. Cela est tout à fait évident, car il n’y a pas plus de ${\frac {b-a}{\eta }}$ intervalles de longueur supérieure à $\eta$, et tous les intervalles, étant supérieurs en longueur à l’un des nombres 1, 1/2, 1/3, …, forment un ensemble fini ou dénombrable.

L’ensemble des valeurs $t_{1}$, $t_{2}$, … est réductible, puisqu’il est fermé et dénombrable ; donc on peut se servir des cordes tracées pour évaluer la longueur de la courbe. La somme des longueurs de ces cordes diffère de la somme

$\mathrm {I} =\sum (t_{\alpha +1}-t_{\alpha }){\sqrt {{x'}^{2}(t_{\alpha })+{y'}^{2}(t_{\alpha })+{z'}^{2}(t_{\alpha })}}$,

au plus de

$\varepsilon \textstyle \sum (t_{\alpha +1}-t_{\alpha })=\varepsilon (b-a)$.

Si nous faisons tendre simultanément $\varepsilon$ et $\lambda$ vers zéro, ${\varepsilon (b-a)}$ tend vers zéro, la somme des longueurs des cordes tend vers la longueur $s$ de la courbe, $\mathrm {I}$ tend donc vers $s$. Mais, d’après la forme de $\mathrm {I}$, on peut écrire, si ${\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}$ est bornée,

${\underline {\int _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,\mathrm {d} t}}\leqq s\leqq {\overline {\int _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,\mathrm {d} t}}$.

Supposons maintenant que ${\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}$, bornée ou non, soit la dérivée d’une fonction $\sigma (t)$. Si nous avons choisi chaque intervalle ${(t_{\alpha },t_{\alpha +1})}$ de manière qu’il satisfasse, non seulement aux conditions, précédemment indiquées, mais encore, ce qui est possible, à l’inégalité

$\varepsilon \,\delta t_{\alpha }\geqq \left\vert \delta \sigma (t_{\alpha })-\delta t_{\alpha }{\sqrt {{x'}^{2}(t_{\alpha })+{y'}^{2}(t_{\alpha })+{z'}^{2}(t_{\alpha })}}\right\vert$,

$\mathrm {I}$ tend vers l’accroissement ${\sigma (b)-\sigma (a)}$ de $\sigma (t)$ dans ${(a,b)}$ quand $\varepsilon$ et $\lambda$ tendent simultanément vers zéro. On a donc

$s=\sigma (b)-\sigma (a)$.

La longueur de l’arc est l’accroissement de la fonction $\sigma$.