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LES FONCTIONS À VARIATION BORNÉE.

Donc un polygone inscrit a une longueur comprise entre les sommes $\textstyle \sum a$, $\textstyle \sum \mathrm {A}$ correspondantes. Si l’on fait tendre vers zéro les longueurs des côtés du polygone, $\textstyle \sum \mathrm {A}$ et $\textstyle \sum a$ tendent vers une même limite ; car on a

${\begin{aligned}\textstyle \sum \mathrm {A} -\sum a\leqq \sum (t_{2}-t_{1})(\mathrm {L} -l)&+\textstyle \sum (t_{2}-t_{1})(\mathrm {M} -m)\\&+\textstyle \sum (t_{2}-t_{1})(\mathrm {N} -n){\text{.}}\end{aligned}}$

La limite de $\textstyle \sum \mathrm {A}$ et $\textstyle \sum a$ est la longueur de la courbe. Mais, puisque l’intégrale ${\int _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,\mathrm {d} t}$, qui existe d’après nos hypothèses, est toujours, elle aussi, comprise entre $\textstyle \sum a$ et $\textstyle \sum \mathrm {A}$, nous pouvons conclure que, si $x'$, $y'$, $z'$ existent et sont intégrables, la longueur de l’arc ${(a,b)}$ est

$\int _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,\mathrm {d} t$.

Le raisonnement précédent montre aussi que si $f'(x)$ existe sans être intégrable, et nous verrons que cela est possible, la longueur de la courbe ${y=f(x)}$ est comprise entre les intégrales par défaut et par excès de ${\sqrt {1+{f'}^{2}}}$.

Nous obtiendrons la généralisation de cette proposition aux courbes $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$, ainsi qu’un résultat relatif au cas où ${\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}$ est une dérivée, à l’aide des considérations qui suivent.

On suppose que $x'$, $y'$, $z'$ existent ; alors, du point $x_{0}$, $y_{0}$, $z_{0}$, $t_{0}$, quel qu’il soit, comme origine, on peut tracer une corde dont la longueur ${\sqrt {\delta x_{0}^{2}+\delta y_{0}^{2}+\delta z_{0}^{2}}}$ diffère, au plus de ${\varepsilon \,\delta t_{0}}$, de la quantité ${\delta t_{0}{\sqrt {{x'_{0}}^{2}+{y'_{0}}^{2}+{z'_{0}}^{2}}}}$ ; et nous pouvons même assujettir $\delta t_{0}$ à être inférieur à une certaine quantité donnée à l’avance $\lambda$.

La courbe étant définie dans ${(a,b)}$, du point ${a=t_{1}}$ comme origine, nous pouvons tracer une corde remplissant les conditions indiquées ; elle correspond à ${(t_{1},t_{2})}$. De $t_{2}$ nous pouvons tracer une nouvelle corde qui correspond à ${(t_{2},t_{3})}$ et ainsi de suite. Si, après un nombre fini d’opérations, on arrive en $b$, la construction est ainsi achevée. Sinon les $t_{n}$ ont un point limite $t_{\omega }$ à partir duquel, comme origine, on peut tracer une corde ${(t_{\omega },t_{\omega +1})}$, puis de $t_{\omega +1}$ on trace ${(t_{\omega +1},t_{\omega +2})}$ et ainsi de suite. Si l’on n’atteint pas $b$,