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CHAPITRE IV.
tions , , de ce côté sur les axes, et de longueur au plus égale à . Mais la somme des projections est la variation de la fonction pour les valeurs de correspondant aux sommets[1]. La longueur du polygone est donc supérieure à ; elle est, de même, supérieure à ou à , mais elle est inférieure à ; la propriété est démontrée.
De plus la longueur de l’arc de à () d’une courbe rectifiable est une fonction continue non décroissante de , puisque l’accroissement de cet arc, dans un intervalle quelconque, est compris entre les accroissements de et .
Pour calculer la longueur d’une courbe, on pourra se servir de polygones ayant une infinité de sommets correspondant à des valeurs de formant un ensemble réductible ; car le raisonnement du début s’applique à ces polygones.
Une courbe rectifiable plane est quarrable, car si on la divise en morceaux de longueur égale à , chacun d’eux peut être enfermé dans une circonférence de rayon , et la somme des aires de ces cercles tend vers zéro avec .
Supposons que , , aient des dérivées intégrables ; alors , , sont aussi intégrables, car on peut écrire
,
,
et si l’on élève au carré ou si l’on prend la racine carrée arithmétique d’une fonction intégrable, on ne cesse pas d’avoir des fonctions intégrables.
Si , , , , , sont les limites inférieures et supérieures de , , dans un intervalle , les sommes telles que , étendues à une division quelconque de en intervalles partiels, tendent vers zéro quand les intervalles employés tendent vers zéro.
La corde a une longueur qui vérifie les inégalités
.
- ↑ La courbe , , , qui sert dans ce raisonnement, est dite la projection sur de la courbe donnée ; la projection sur est , , .