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CHAPITRE IV.

intervalles contigus à l’ensemble $\mathrm {E}$ des points de division et par $x_{1}$, $x_{2}$, … les points de cet ensemble,

$u={\textstyle \sum }\left\vert f(b_{i}-0)-f(a_{i}+0)\right\vert +{\textstyle \sum }\left\vert s_{g}(x_{i})\right\vert +\textstyle \sum \left\vert s_{d}(x_{i})\right\vert$.

Il est clair que la première somme tend vers la variation totale de la partie continue $\psi$ de $f$ et que la seconde finit par contenir les valeurs absolues de tous les sauts de $f$, donc donne la variation totale de $\varphi$.

Lorsqu’en tout point $f(x)$ est compris entre ${f(x+0)}$ et ${f(x-0)}$ on peut prendre pour $u$ la quantité $u'$

$u'={\textstyle \sum }\left\vert f(b_{i}-0)-f(a_{i}+0)\right\vert +{\textstyle \sum }\left\vert f(x_{i}+0)-f(x_{i}-0)\right\vert$ ;

mais, dans le cas général, cette quantité donnerait une limite trop petite. Lorsque $f$ est à variation bornée, les séries constituant $u'$ sont convergentes, donc on peut ranger comme l’on veut les termes de

${\textstyle \sum }\left[f(b_{i}-0)-f(a_{i}+0)\right]+{\textstyle \sum }\left[f(x_{i}+0)-f(x_{i}-0)\right]$.

Groupons ceux fournis par les $\delta _{i}$ et les $x_{i}$ intérieurs à un intervalle $\delta '$ contigu au dérivé $\mathrm {E} '$ de $\mathrm {E}$, il est clair que la somme de ces termes est ${\textstyle \sum \left[f(\beta '-0)-f(\alpha '+0)\right]}$ si $\delta '$ est l’intervalle ${(\alpha ',\beta ')}$. Donc, par de tels groupements, on transforme la somme relative à $\mathrm {E}$ en la somme analogue relative à $\mathrm {E} '$ ; puis en la somme relative à $\mathrm {E} ''$, etc. Et finalement on conclut que, si ${(a,b)}$ est l’intervalle considéré, on a, pour $f$ à variation bornée,

$f(b)-f(a)={\textstyle \sum }\left[f(b_{i}-0)-f(a_{i}+0)\right]+{\textstyle \sum }\left[f(x_{i}+0)-f(x_{i}-0)\right]$.

II. — Les courbes rectifiables.

Soit une courbe $\mathrm {C}$ définie dans ${(a,b)}$

$x=x(t)$,$y=y(t)$,$z=z(t)$.

Considérons un polygone $\mathrm {P}$ inscrit dans cette courbe et dont les sommets, dans l’ordre où ils se rencontrent sur $\mathrm {P}$, correspondent à des valeurs croissantes de $t$^[1], $a$, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, $\alpha _{p}$, $b$. On peut

1. Quand nous parlerons d’un polygone inscrit dans une courbe, nous supposerons toujours cette dernière condition remplie.