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LES FONCTIONS À VARIATION BORNÉE.

pose

,

est une fonction continue à variation bornée ; la variation totale de étant la somme de celles de et de .

La fonction discontinue la plus générale qui soit à variation bornée s’obtient donc, soit en faisant la différence de deux fonctions discontinues croissantes, soit en ajoutant à une fonction continue à variation bornée la fonction des sauts . Cette seconde méthode montre qu’on peut construire des fonctions à variation bornée en choisissant à volonté l’ensemble dénombrable des points de discontinuité, et même les sauts de droite et de gauche et , pourvu que les séries , soient absolument convergentes.

Par exemple, l’ensemble des points de discontinuité pourra être l’ensemble des nombres rationnels, les sauts étant, quand s’écrit sous forme irréductible,

,.

Démontrons que, pour calculer la variation totale d’une fonction discontinue, il suffit de prendre la limite des nombres fournis par une suite de divisions , , …, en intervalles de longueur tendant vers zéro et telles que tout point de discontinuité de soit point de division de à partir d’une certaine valeur de . Il suffira de prouver cela pour la fonction des sauts . Or, si est un point de discontinuité de et appartient à , , …, il y a dans la division un intervalle d’origine dont la contribution dans tendra vers quand augmentera indéfiniment. Ainsi, dans , il y a des termes qui, pour grandissant indéfiniment, tendent vers les premiers termes de  ; donc la limite des ne saurait être inférieure à la variation totale de , mais comme elle ne saurait être plus grande, les tendent bien vers la variation totale de .

On peut aussi utiliser des divisions remplissant les conditions indiquées mais obtenues à l’aide d’ensembles réductibles de points et non plus seulement à l’aide de points en nombres finis. Seulement il faut définir avec précision ce que l’on entendra par le nombre  ; ce sera, si l’on désigne par les différents