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LES FONCTIONS À VARIATION BORNÉE.

l’une et l’autre s’annulent pour −1 et +1, la première est à variation totale $\mathrm {V}$ infinie, la seconde à variation totale $\mathrm {V}$ bornée. $f_{1}(x)$ désignera l’une ou l’autre de ces deux fonctions.

$f_{1}(x)$ a une infinité de maxima et de minima qui se présentent quand $x$ appartient à un certain ensemble $\mathrm {E} _{1}$.

$f_{2}(x)$ est une fonction continue qui s’annule aux points de $\mathrm {E} _{1}$ et qui, dans l’intervalle ${(\alpha ,\beta )}$ de deux points consécutifs de $\mathrm {E} _{1}$, est égale à

${\frac {(\beta -\alpha )}{2}}f_{1}\!\left[{\frac {2}{\beta -\alpha }}\left(x-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\right]$.

$f_{2}(x)$ a même variation totale que $f_{1}(x)$ parce que, dans ${(\alpha ,\beta )}$, la variation totale de $f_{2}(x)$ est ${{\frac {\beta -\alpha }{2}}\mathrm {V} }$.

La fonction ${f_{1}+{\frac {1}{2^{2}}}f_{2}}$ a, dans chaque intervalle ${(\alpha ,\beta )}$, une infinité de maxima et de minima. En effet, si ${f_{1}=a}$, elle est à variation non bornée dans ${(\alpha ,\beta )}$ et cela entraîne cette conséquence qu’elle a une infinité de maxima et de minima ; car si une fonction n’a qu’un nombre fini de maxima et minima, il suffit de calculer le nombre $v$ relatif à une division $x_{1}$, $x_{2}$, …, $x_{p}$ dans laquelle figurent les abscisses de tous les maxima et minima pour avoir la variation totale $\mathrm {V}$, qui est donc finie. Si ${f_{1}=b}$, $f_{1}$ a une dérivée bornée dans ${(\alpha ,\beta )}$, tandis que la dérivée de $f_{2}$ prend toutes les valeurs positives et négatives, d’où encore l’existence d’une infinité de maxima et de minima. Soit $\mathrm {E} _{2}$ l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles ${f_{1}+{\frac {1}{2^{2}}}f_{2}}$ est maximum ou minimum.

En opérant, à partir de $\mathrm {E} _{1}+\mathrm {E} _{2}$, comme à partir de $\mathrm {E} _{1}$, on formera $f_{3}$, d’où ${f_{1}+{\frac {1}{2^{2}}}f_{2}+{\frac {1}{3^{2}}}f_{3}}$ et $\mathrm {E} _{3}$^[1].

En continuant ainsi, on définit les différents termes de la série

$f(x)=f_{1}(x)+{\frac {1}{2^{2}}}f_{2}(x)+{\frac {1}{3^{2}}}f_{3}(x)+\ldots$,

qui est uniformément convergente, car $|f_{i}|$ est inférieure à 1.

La fonction continue $f(x)$ a des maxima et des minima dans

1. Pour être tout à fait rigoureux, il faudrait démontrer que la somme des longueurs des intervalles contigus à $\mathrm {E} _{1}+\mathrm {E} _{2}$, intervalles qui jouent le rôle des ${(\alpha ,\beta )}$, est égale à 2 comme la somme des différences ${\beta -\alpha }$. Cela est presque évident et résulte, si l’on veut, de ce que $\mathrm {E} _{1}+\mathrm {E} _{2}$ est d’étendue extérieure nulle.