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CHAPITRE IV.

tions relatives, à $\mathrm {D}$ et à $\mathrm {D} _{1}$. Soit ${(a,b)}$ un intervalle intervenant dans $\mathrm {D}$, je dis que sa contribution dans $u$ n’est pas inférieure à sa contribution dans $v_{1}$. Cela est évident si ${(a,b)}$ ne contient qu’un nombre fini de points de $\mathrm {E}$ ; s’il en contient un nombre infini mais seulement un nombre fini de points de $\mathrm {E} '$, on raisonnera comme nous venons de le faire, il y a un instant. De là on passera au cas où $\mathrm {E} ''$ n’aurait qu’un nombre fini de points dans $(a,b)$, etc.

Finalement on conclut : ${u\geqq v_{1}}$. Donc ${v_{1}\leqq u\leqq \mathrm {V} }$, et, puisque $v_{1}$ tend vers $\mathrm {V}$ (fini ou non) quand $\lambda$ tend vers zéro, notre proposition est démontrée.

On pourra préciser l’énoncé de cette proposition comme nous l’avons fait (p. 53) lorsqu’il ne s’agissait que de variations calculées à l’aide d’un nombre fini de points de division.

La série $u$ étant convergente, la série ${\textstyle \sum \left[f(x_{i})-f(y_{i})\right]}$, étendue à tous les intervalles contigus à $\mathrm {E}$, est absolument convergente et, par un raisonnement analogue aux précédents, on vérifiera que sa somme est égale à l’accroissement ${f(b)-f(a)}$ de $f(x)$ dans l’intervalle ${(a,b)}$ considéré^[1]. On peut donc parler de la somme de ses termes positifs et de la somme de ses termes négatifs, ces deux sommes tendent vers $\mathrm {P}$ et $-\mathrm {N}$ quand $\lambda$ tend vers zéro.

Il est important de remarquer qu’on ne peut pas remplacer l’ensemble réductible $\mathrm {E}$ par un ensemble non dense quelconque sans que certaines des propriétés précédentes cessent d’être vraies. Soit, en effet, la fonction $\xi (x)$ définie par

$2\xi (x)={\frac {a_{1}}{2}}+{\frac {a_{2}}{2^{2}}}+{\frac {a_{3}}{2^{3}}}+\ldots$,

quand

$x={\frac {a_{1}}{3}}+{\frac {a_{2}}{3^{2}}}+{\frac {a_{3}}{3^{3}}}+\ldots$,

où les $a$ sont égaux à 0 ou à 2. $x$ appartient alors à l’ensemble $\mathrm {Z}$. On vérifie immédiatement que, pour les deux extrémités d’un

1. La notation ${\textstyle \sum \left[f(x_{i})-f(y_{i})\right]}$ suppose que les intervalles contigus ont été numérotés. Cela est possible d’une infinité de manières, mais aucune ne s’impose. De sorte que les termes de notre série ne sont pas, en réalité, rangés dans un ordre déterminé ; la série ne peut donc être convergente que si elle est absolument convergente.

   Nous retrouverons ce fait dans la suite pour toutes les séries de nombres attachés aux intervalles contigus à un ensemble.