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LES FONCTIONS À VARIATION BORNÉE.
tion , pour cette division, la somme de la série , étendue à tous les intervalles contigus[1] à .
Nous allons comparer l’ensemble des variations qui viennent d’être définies à l’ensemble des variations antérieurement définies[2].
L’ensemble des contient, quand on fait varier l’ensemble réductible , l’ensemble des ; donc la limite supérieure de l’ensemble des est au moins égale à la limite supérieure de l’ensemble des . Il suffira de démontrer que est toujours inférieure à la variation totale pour qu’il soit prouvé que la limite supérieure des est la variation totale .
Soit un intervalle contigu à . Soient et deux points de situés dans ; la contribution de la partie de située dans pour le calcul de est au plus égale à celle qu’elle fournit dans , puisque ne contient qu’un nombre fini de points dans . Faisons tendre les points et vers et , la proposition reste vraie et l’on trouve que fournit dans une contribution au moins égale à celle qu’il donne dans . Si, dans , il n’y avait pas de points de voisins de , il faudrait prendre en et l’on opérerait d’une façon analogue si, dans , il n’y avait pas de points de voisins de .
On prouvera de même que la proposition est vraie dans un intervalle contigu à , ou , … ; mais l’un des dérivés de étant nul dans , la proposition est vraie pour .
Ainsi les peuvent remplacer les .
Lorsqu’il s’agit d’une fonction continue, le nombre , comme le nombre , tend uniformément vers la variation totale, quand le maximum de la longueur des intervalles contigus à tend vers zéro.
Soit, en effet, une division correspondant à un ensemble fermé et réductible et à un certain maximum . En choisissant convenablement un nombre fini de points de , j’ai une division correspondant au plus au maximum . Soient et les varia-
- ↑ Un intervalle est dit contigu à un ensemble s’il ne contient pas de points de et si ses extrémités font partie de ou de . La dénomination d’intervalle contigu est due à M. R. Baire.
- ↑ Puisque nous n’avons pas encore prouvé que la série définissant est convergente, il n’est pas exclu qu’une variation ait pour valeur .