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CHAPITRE IV.

Voici une conséquence immédiate de cette propriété : les trois variations totales d’une fonction continue à variation bornée sont des fonctions continues. Il suffit de le démontrer pour $\mathrm {V} (x)$ puisque $\mathrm {P} (x)$ et $\mathrm {N} (x)$ s’expriment immédiatement à l’aide de $f(x)$ et de $\mathrm {V} (x)$.

Pour calculer $\mathrm {V} (x_{0})$, j’emploie une division $a_{1}$, $x_{1}$, …, $x_{n}$, $x_{0}$ ; la variation $v$ correspondant à cette division est égale à celle correspondant à $a$, $x_{1}$, …, $x_{n}$ plus ${\left\vert f(x_{0})-f(x_{n})\right\vert }$, $v$ est donc au plus égale à

$\mathrm {V} (x_{n})+\left\vert f(x_{0})-f(x_{n})\right\vert \leqq \mathrm {V} (x_{0}-0)+\left\vert f(x_{0})-f(x_{n})\right\vert$,

car $\mathrm {V} (x)$ est croissante ; et, puisque ${f(x_{0})-f(x_{n})}$ tend vers zéro quand on fait tendre vers zéro le maximum des ${x_{i+1}-x_{i}}$, la valeur $\mathrm {V} (x_{0})$ est au plus égale à $\mathrm {V} (x_{0}-0)$. Mais $\mathrm {V} (x)$ est une fonction croissante, donc on a

$\mathrm {V} (x_{0})=\mathrm {V} (x_{0}-0)$,

la fonction est continue à gauche.

Étudions la variation totale de ${f_{1}(x)=f(-x)}$ entre $-b$ et $-x$, ($x<b$) ; cette variation totale est évidemment égale à

$\mathrm {V} (b)-\mathrm {V} (x)$.

Considérée comme fonction de $-x$, elle est continue à gauche de $-x_{0}$ ; donc, en tant que fonction de $x$, elle est continue à droite de $x_{0}$. La fonction $\mathrm {V} (x)$ est donc continue.

La seconde partie de cette démonstration suppose essentiellement que la fonction est à variation bornée. Si $\mathrm {V} (x)$ devenait brusquement infinie pour ${x>x_{0}}$, et nous verrons que cela est possible, le symbole ${\mathrm {V} (b)-\mathrm {V} (x)}$ n’aurait aucun sens pour ${x>x_{0}}$.

Puisque $\mathrm {P} (x)$ et $\mathrm {N} (x)$ sont des fonctions continues, toute fonction continue à variation bornée est la différence de deux fonctions continues non décroissantes.

La variation $v$, pour la division $\mathrm {D}$, a été définie seulement dans le cas où $\mathrm {D}$ ne contient qu’un nombre fini d’intervalles ; pour la suite, il est utile d’étudier un cas où $\mathrm {D}$ comprend une infinité d’intervalles. C’est le cas où les points de division de $\mathrm {D}$ forment un ensemble fermé réductible $\mathrm {E}$ ; alors nous appellerons varia-