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CHAPITRE IV.

de nombres $v$ tendant vers une limite, finie ou non, qui est au moins égale au nombre $v$ dont on est parti. On peut donc dire que la variation totale de $f$ est la limite supérieure de l’ensemble des nombres $v$ ^[1].

On voit aussi très simplement que, dans les définitions précédentes, on peut remplacer $v$ par

o=\omega _{1}+\omega _{2}+\ldots +\omega _{n}

,

où $\omega _{i}$ est l’oscillation de $f$ dans ${(a_{i-1},a_{i})}$ , les extrémités comprises.

À cause de cette propriété, quelques auteurs appellent les fonctions qui nous occupent fonctions à oscillation totale finie ; l’oscillation totale étant la limite supérieure des $o$ .

Une fonction à variation bornée est intégrable ; elle est, en effet, à oscillation moyenne nulle, puisque cette oscillation est le quotient par ${(b-a)}$ de la limite, quand $\lambda$ tend vers zéro, de

{\textstyle \sum }(a_{i}-a_{i-1})\omega _{i}\leqq {\textstyle \sum }\lambda \omega _{i}=\lambda {\textstyle \sum }\omega _{i}=\lambda o\leqq \lambda \mathrm {O}

,

$\mathrm {O}$ étant l’oscillation totale de $f(x)$ .

L’intégrabilité résulte aussi de cette proposition évidente : les points en lesquels une fonction à variation bornée a une oscillation supérieure à $\alpha$ $({\alpha >0})$ sont en nombre fini et, par suite, forment bien un groupe intégrable.

Choisissons des nombres $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ , …, qui tendent vers zéro en décroissant. Les points en lesquels l’oscillation est supérieure à $\alpha _{n}$ sans être supérieure à $\alpha _{n-1}$ sont en nombre fini ; faisons varier $n$ , nous voyons qu’une fonction à variation bornée a au plus une infinité dénombrable de points de discontinuité.

La réciproque n’est pas vraie ; il existe même des fonctions continues à variation non bornée.

L’oscillation d’une somme ${f_{1}+f_{2}}$ étant, dans un intervalle quelconque, au plus égale à la somme des oscillations de $f_{1}$ et $f_{2}$ dans cet intervalle, l’oscillation totale de ${f_{1}+f_{2}}$ est, au plus, la somme des oscillations totales de $f_{1}$ et $f_{2}$ . Donc la somme de deux fonctions à variation bornée est une fonction à variation bornée.

↑ Et non plus la limite supérieure d’indétermination de la limite des nombres $v$ .

[1] Et non plus la limite supérieure d’indétermination de la limite des nombres $v$ .

[1]