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CHAPITRE III.

Il est, en général, impossible de remplacer des sommes d’intégrales par excès ou par défaut par les intégrales par excès ou par défaut de la somme (p. 34), parce que le maximum d’une somme est, en général, plus petit que la somme des maxima des termes de la somme, tandis que le minimum est, généralement, plus grand que la somme des minima. Mais ici, dans tout intervalle, le maximum (ou le minimum) de ${f=f_{1}-f_{2}}$ est bien la somme des maxima (ou des minima) de $f_{1}$ et de $-f_{2}$. On peut donc écrire

${\underline {\mathrm {I} }}={\underline {\int f\,\mathrm {d} x}}$,${\overline {\mathrm {I} }}={\overline {\int f\,\mathrm {d} x}}$.

Nous retrouvons ainsi les intégrales de Darboux et nous avons leur signification géométrique.

Remarquons que $\mathrm {E} (f)$ est mesurable J quand $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {E} _{2}$ le sont et que, inversement, si $\mathrm {E} (f)$ est mesurable J, $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {E} _{2}$ le sont aussi. Ainsi, notre définition géométrique de l’intégrale s’applique lorsque $\mathrm {E}$ est mesurable J ; mais, dans ce cas, et dans ce cas seulement, ${\overline {\mathrm {I} }}$ et ${\underline {\mathrm {I} }}$ sont égaux, c’est-à-dire que les intégrales ${\overline {\int f\,\mathrm {d} x}}$ et ${\underline {\int f\,\mathrm {d} x}}$ sont égales, donc :

Pour qu’une fonction bornée $f$ soit intégrable au sens de Riemann, il faut et il suffit que $\mathrm {E} (f)$ soit mesurable J superficiellement ; dans ce cas, l’on a

$\mathrm {I} =\int f\,\mathrm {d} x$.

La définition géométrique de l’intégrale est entièrement équivalente à la définition analytique donnée par Riemann.