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DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE DE L’INTÉGRALE.

ne soit pas extérieur à l’intervalle positif ou négatif $[0,f(x)]$. En d’autres termes, on a

$y\,f(x)\geqq 0$et$0\leqq y^{2}\leqq {\overline {f(x)}}^{2}$.

L’axe des $x$ partage cet ensemble en deux autres : les points situés au-dessus de $o\,x$ forment $\mathrm {E} _{1}[f(x)]$, ceux qui sont au-dessous forment $\mathrm {E} _{2}[f(x)]$. Quant aux points situés sur $o\,x$, on les mettra indifféremment dans $\mathrm {E} _{1}$ ou $\mathrm {E} _{2}$, cela importe peu dans la suite, car ils forment un groupe intégrable du plan.

Par analogie avec la définition précédente, il est naturel d’appeler intégrale de $f$ la différence

$\mathrm {I} =e[\mathrm {E} _{1}(f)]-e[\mathrm {E} _{2}(f)]$,

lorsque $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {E} _{2}$ sont mesurables J.

Lorsqu’un ensemble n’est pas mesurable J, son étendue peut être considérée comme un nombre indéterminé dont les deux limites d’indétermination sont les étendues intérieure et extérieure de l’ensemble ; cela conduit, pour $\mathrm {I}$, aux deux limites d’indétermination

${\underline {\mathrm {I} }}=e_{i}[\mathrm {E} _{1}(f)]-e_{e}[\mathrm {E} _{2}(f)]$,${\overline {\mathrm {I} }}=e_{e}[\mathrm {E} _{1}(f)]-e_{i}[\mathrm {E} _{2}(f)]$.

Nous allons calculer ces deux limites d’indétermination et pour cela supposons d’abord que $f$ n’est jamais négative, c’est-à-dire que $\mathrm {E} _{2}$ ne contient aucun point. Le calcul des étendues intérieure et extérieure de $\mathrm {E}$ (ou $\mathrm {E} _{1}$) se fait comme dans le cas où $f$ est continue, c’est-à-dire que ces étendues sont les limites des deux nombres ${\underline {\mathrm {S} }}$ et ${\overline {\mathrm {S} }}$. Les étendues sont donc les intégrales par défaut et par excès de $f$.

Pour étudier le cas général posons ${f=f_{1}-f_{2}}$, où $f_{1}$ est égale à $f$ quand $f$ est positive ou nulle, et est nulle quand $f$ est négative. On a alors, évidemment,

$e_{i}[\mathrm {E} _{1}(f)]={\underline {\int f_{1}\,\mathrm {d} x}}$,$e_{e}[\mathrm {E} _{1}(f)]={\overline {\int f_{1}\,\mathrm {d} x}}$,

$e_{i}[\mathrm {E} _{2}(f)]={\underline {\int f_{2}\,\mathrm {d} x}}$,$e_{e}[\mathrm {E} _{2}(f)]={\overline {\int f_{2}\,\mathrm {d} x}}$,

donc

${\underline {\mathrm {I} }}={\underline {\int f_{1}\,\mathrm {d} x}}+{\underline {\int -f_{2}\,\mathrm {d} x}}$,${\overline {\mathrm {I} }}={\overline {\int f_{1}\,\mathrm {d} x}}+{\overline {\int -f_{2}\,\mathrm {d} x}}$,