Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/60

Cette page a été validée par deux contributeurs.

44

CHAPITRE III.

de zéro. Or l’étendue intérieure est nulle, puisque $\mathrm {R}$ est partout non dense, $\mathrm {R}$ n’est pas mesurable J^[1].

Une construction tout à fait analogue peut être faite dans le cas du plan ; on pourra, par exemple, diviser un rectangle, par deux séries de trois parallèles à ses côtés, en neuf rectangles et barrer les points intérieurs à celui du milieu, qu’on choisira de manière que son aire soit ${(1-\alpha _{1})}$ fois celle du rectangle primitif. Puis on opérera sur chacun des huit rectangles restants en remplaçant $\alpha _{1}$ par $\alpha _{2}$ ; etc.

Parmi les ensembles non mesurables J dans le plan se trouvent des courbes non quarrables, c’est-à-dire dont l’étendue extérieure n’est pas nulle ; mais toute courbe non quarrable n’est pas nécessairement non mesurable J, elle contient alors tous les points d’un carré.

M. Peano a construit le premier une courbe qui passe par tous les points d’un carré ; M. Hilbert a ensuite indiqué une méthode géométrique simple permettant de construire de telles courbes ; toutes ces courbes sont non quarrables^[2].

Pour avoir une courbe passant par tous les points du carré ${0\leqq x\leqq 1}$ , ${0\leqq y\leqq 1}$ , définie en fonction d’un paramètre $t$ variant de 0 à 1, je pose

{\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}\left({\frac {a_{1}}{2}}+{\frac {a_{3}}{2^{2}}}+{\frac {a_{5}}{2^{3}}}+\ldots +{\frac {a_{2n-1}}{2^{n}}}+\ldots \right),\\y&={\frac {1}{2}}\left({\frac {a_{2}}{2}}+{\frac {a_{4}}{2^{2}}}+{\frac {a_{6}}{2^{3}}}+\ldots +{\frac {a_{2n}}{2^{n}}}\quad +\ldots \right),\end{aligned}}

quand

t={\frac {a_{1}}{3}}+{\frac {a_{2}}{3^{2}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{3^{n}}}+\ldots

.

où les $a_{i}$ sont égaux à 0 ou 2. Alors $t$ fait partie de l’ensemble $\mathrm {Z}$ de la page 27.

↑ Si l’on avait ${\alpha _{n}={\frac {2}{3}}}$ , on aurait l’ensemble $\mathrm {Z}$ qui est mesurable J, parce que $\mathrm {P}$ est nul.
↑ Peano, Sur une courbe qui remplit toute une aire (Math. Ann., Bd XXXVI). — Hilbert, Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück (Math. Ann., Bd XXXVIII). La courbe de M. Hilbert est définie à la page 23 du Volume I de la deuxième édition du Traité d’Analyse de M. Picard. La méthode de définition qui va être indiquée, différente de celles de MM. Peano et Hilbert, peut être utilisée pour les espaces à un nombre fini quelconque de dimensions et même pour les espaces à une infinité dénombrable de dimensions (voir Lebesgue, Journal de Mathématiques, 1905).

[1] Si l’on avait ${\alpha _{n}={\frac {2}{3}}}$ , on aurait l’ensemble $\mathrm {Z}$ qui est mesurable J, parce que $\mathrm {P}$ est nul.

[2] Peano, Sur une courbe qui remplit toute une aire (Math. Ann., Bd XXXVI). — Hilbert, Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück (Math. Ann., Bd XXXVIII). La courbe de M. Hilbert est définie à la page 23 du Volume I de la deuxième édition du Traité d’Analyse de M. Picard. La méthode de définition qui va être indiquée, différente de celles de MM. Peano et Hilbert, peut être utilisée pour les espaces à un nombre fini quelconque de dimensions et même pour les espaces à une infinité dénombrable de dimensions (voir Lebesgue, Journal de Mathématiques, 1905).

[1]

[2]