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CHAPITRE III.

Les groupes intégrables nous fournissent un premier exemple d’ensembles mesurables J linéairement. En particulier, l’ensemble $\mathrm {Z}$ (p. 27) est d’étendue extérieure nulle. Il en sera de même, a fortiori, de tout ensemble formé à l’aide des points de $\mathrm {Z}$ ; tous ces ensembles sont donc mesurables J et d’étendue nulle. Comme $\mathrm {Z}$ a la puissance du continu, il est possible d’établir une correspondance biunivoque entre les points de $\mathrm {Z}$ et ceux d’un intervalle, de sorte qu’à tout ensemble de points de cet intervalle on fasse correspondre un ensemble de points de $\mathrm {Z}$ ; donc l’ensemble des ensembles mesurables J a une puissance au moins égale à celle de l’ensemble des ensembles de points et, comme il ne peut évidemment avoir une puissance supérieure, il a exactement cette puissance^[1].

Un autre exemple d’ensemble mesurable J linéairement nous est fourni par un nombre fini d’intervalles. Si d’un tel ensemble on retire un groupe intégrable, il reste un ensemble mesurable J, l’étendue n’a pas varié.

On verra facilement que l’ensemble mesurable J le plus général ne diffère d’un ensemble mesurable J, formé par une infinité dénombrable d’intervalles, que par l’addition d’un certain groupe intégrable $\mathrm {G} _{1}$, et par la soustraction d’un autre groupe intégrable $\mathrm {G} _{2}$^[2].

Il est facile aussi de citer des ensembles mesurables J superficiellement. Tout ensemble borné $\mathrm {Z} _{1}$, se projetant sur l’axe des $x$ suivant l’ensemble $\mathrm {Z}$, est un ensemble mesurable J de mesure superficielle nulle. Les ensembles de mesure superficielle extérieure nulle jouent, dans la théorie des intégrales doubles, au sens de Riemann, le même rôle que les groupes intégrables sur une droite ; on peut les appeler les groupes intégrables du plan.

1. Il est fait usage ici d’un théorème très important sur la comparaison des puissances dont on trouvera dans la Note I des Leçons sur la théorie des fonctions de M. Borel une démonstration due à M. F. Bernstein. Ce théorème est souvent utile ; on peut l’énoncer ainsi :

   Si un ensemble $\mathrm {E}$ contient un ensemble $\mathrm {E} _{1}$ et est contenu dans un ensemble $\mathrm {E} _{2}$, $\mathrm {E} _{1}$ et $\mathrm {E} _{2}$ ayant même puissance, $\mathrm {E}$, $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$ ont même puissance.

2. Si par points d’un intervalle on entend les points intérieurs à cet intervalle, la considération de $\mathrm {G} _{2}$ est même inutile.