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DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE DE L’INTÉGRALE.

tion ${\theta ={\frac {t-t_{0}}{t_{1}-t_{0}}}}$ et considérer les fonctions de $\theta$ obtenues comme périodiques et de période 1. Alors, pour définir la courbe, il suffira de se les donner dans un intervalle quelconque d’étendue 1 et non plus nécessairement dans (0, 1) ; enfin l’on pourra, dans cet intervalle, remplacer $\theta$ par une fonction toujours croissante ou toujours décroissante de $\tau$. Toutes les courbes ainsi obtenues sont regardées comme identiques.

Jordan a démontré le premier, dans la deuxième édition de son Cours d’Analyse, qu’une courbe fermée sans point multiple sépare le plan en deux régions^[1] ; nous admettrons ce résultat, qui paraît si évident intuitivement qu’on a tout d’abord quelque peine à comprendre qu’il faille le démontrer.

Les points de la région intérieure constituent ce que l’on appelle le domaine limité par la courbe. Relativement aux points de cette courbe, on peut faire deux conventions, les considérer comme points du domaine ou non, cela a en général peu d’importance.

La frontière d’un domaine est constituée par la courbe fermée qui sert à le définir.

Lorsque les deux étendues extérieure et intérieure d’un domaine sont égales, le domaine est dit quarrable et son étendue superficielle est appelée son aire^[2].

Pour qu’un domaine soit quarrable, il faut que sa courbe frontière soit d’étendue extérieure nulle ; une telle courbe est dite une courbe quarrable. Un carré est évidemment quarrable.

De la définition des domaines quarrables, il résulte que rien n’aurait été changé si l’on avait supposé que la division $\Delta _{j}$ (p. 39) était une division en domaines quarrables de diamètres inférieurs à $\lambda _{j}$.

Voici maintenant des exemples des diverses circonstances qu’on vient d’envisager.

1. Voir aussi le Traité d’Analyse de M. de la Vallée Poussin. Dans cette seconde édition, je devrais indiquer bien d’autres références tellement les travaux récents sur cette question et les questions connexes sont nombreux. Je me contenterai de renvoyer à l’article de M. Zoretti : Recherches récentes sur la théorie des fonctions (Encyclopédie des Sciences mathématiques, II, 1), et aux premiers tomes des Fundamenta Mathematicæ.
2. D’ailleurs, quelques auteurs emploient toujours, à la place des mots étendue linéaire et étendue superficielle, les mots longueur et aire.