fonction égale à 1 pour les points de , nulle pour les autres points[1].
La limite de s’appelle l’étendue extérieure de , ; celle de est l’étendue intérieure, .
Quand ces deux étendues seront égales, nous dirons que l’ensemble est mesurable J, c’est-à-dire par le procédé de Jordan, et d’étendue[2]
dans ce cas, la fonction attachée à est intégrable au sens de Riemann et son intégrale dans est .
Interprétons la condition d’intégrabilité de . Les points de discontinuité de sont les points de qui sont limites de points ne faisant pas partie de , et les points limites de qui ne font pas partie de . Ces points sont appelés, par Jordan, les points frontières de ; leur ensemble est la frontière de . Donc, pour qu’un ensemble soit mesurable J, il faut et il suffit que sa frontière forme un groupe intégrable.
Cette condition peut se transformer si l’on remarque que, par définition, pour un groupe intégrable tend vers zéro. De sorte qu’un groupe intégrable est un ensemble d’étendue extérieure nulle ou, si l’on veut, un ensemble mesurable J et d’étendue nulle.
La méthode précédente ne pourrait être appliquée aux ensembles formés des points d’un espace à plusieurs dimensions que si nous avions étudié au préalable les intégrales multiples par défaut et par excès. Une telle étude ne présente pas de difficultés, mais il est plus simple d’employer la méthode de Jordan qui est, en somme, la démonstration de l’existence de ces intégrales dans le cas particulier de la fonction .
Considérons dans le plan un ensemble de points borné, c’est-à-dire tel que l’ensemble des coordonnées des points de soit borné. Un tel ensemble est tout entier contenu dans un carré convenablement choisi, d’aire . Divisons le plan en petits carrés dont le maximum de la diagonale est . Soient la somme des aires
