J’ajoute qu’on vérifie immédiatement que
IV. — Intégrales par défaut et par excès.
La définition qui vient de nous occuper a été obtenue en appliquant, à des fonctions discontinues, le procédé de calcul des intégrales de fonctions continues. Nous savons qu’il existe des fonctions bornées, les fonctions non intégrables, pour lesquelles ce procédé ne conduit pas à un nombre déterminé. Mais on peut cependant, à l’aide de ce procédé, attacher à chaque fonction bornée deux nombres parfaitement définis.
Nous avons vu (p. 25) que les sommes , tendent vers une limite parfaitement déterminée quand les tendent vers zéro d’une manière quelconque, cette limite est l’un des deux nombres dont il s’agit ; on l’appelle l’intégrale par excès et on le représente par le symbole , qui s’énonce : intégrale par excès de à de .
De la même manière, on peut démontrer l’existence d’une limite pour les sommes . D’ailleurs, en étudiant l’oscillation moyenne (p. 22), nous avons vu que tend vers une limite parfaitement déterminée et comme l’on a
l’existence de la limite de est démontrée[1]. C’est l’intégrale par défaut qu’on note .
Ces deux nombres ont été définis pour la première fois, d’une façon précise, par Darboux[2].
Pour compléter leurs définitions, données seulement pour ,