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CHAPITRE II.

Donc $\mathrm {S}$, et par suite sa limite, l’intégrale, est comprise entre $(b-a)l$ et $(b-a)\mathrm {L}$ ; l’intégrale est donc de la forme $(b-a)\mu$, où $\mu$ est compris entre $l$ et $\mathrm {L}$ ; c’est le théorème de la moyenne.

Ce qui le distingue du théorème des accroissements finis, démontré pour les fonctions continues, c’est qu’il nous est impossible d’affirmer que $\mu$ est l’une des valeurs que prend $f$ dans ${(a,b)}$.

De ce théorème il résulte que, si le module de $f$ est inférieur à $\varepsilon$, l’intégrale de $f$ est en module inférieure à ${\left\vert b-a\right\vert \varepsilon }$.

Ceci posé, soit une fonction $f$ somme d’une série uniformément convergente de fonctions intégrables

$f=u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{n}+\ldots$.

Soient $s_{n}$ la somme des $n$ premiers termes, $r_{n}$ le reste correspondant, $\mathrm {F}$, $\mathrm {U} _{n}$, $\mathrm {S} _{n}$, $\mathrm {R} _{n}$ les intégrales de $f$, $u_{n}$, $s_{n}$, $r_{n}$. On a

$\mathrm {S} _{n}=\mathrm {U} _{1}+\mathrm {U} _{2}+\ldots +\mathrm {U} _{n}$,

d’après le théorème sur l’intégration d’une somme. Ce même théorème montre que

$\mathrm {F} =\mathrm {S} _{n}+\mathrm {R} _{n}$.

Or, dès que $n$ est plus grand que $n_{1}$, $r_{n}$ est en module inférieur à $\varepsilon$, et $\mathrm {R} _{n}$ est en module inférieur à ${\left\vert b-a\right\vert \varepsilon }$. Dès que $n$ est plus grand que $n_{1}$, ${\left\vert \mathrm {F} -\mathrm {S} _{n}\right\vert }$ est inférieur à ${\left\vert b-a\right\vert \varepsilon }$. La série $\textstyle \sum \mathrm {U} _{n}$ est donc convergente et de somme $\mathrm {F}$.

Une série uniformément convergente de fonctions intégrables est intégrable terme à terme.

Les théorèmes précédents ne sont démontrés que dans le cas où l’intervalle ${(a,b)}$ est un intervalle positif ($b>a$), puisque l’intégrale n’a été définie que dans ce cas. On complète la définition comme précédemment.

L’intégrale dans ${(a,b)}$ se notant toujours $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$, la définition complémentaire s’exprime par l’égalité

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x=0$.

Il est évident que les théorèmes précédemment démontrés pour les intervalles positifs sont vrais aussi pour les intervalles négatifs.