intégrable ; si est intégrable, la racine ième arithmétique de , si elle existe, est intégrable ; si est positive et intégrable et intégrable, est intégrable ; etc.
L’opération , appliquée à des fonctions intégrables, peut au contraire donner des fonctions non intégrables.
Prenons pour une fonction partout égale à 1, sauf pour , où elle est nulle. n’ayant qu’un point de discontinuité est intégrable. sera nulle pour irrationnel et sera égale à pour ( et premiers entre eux). est intégrable puisque ses points de discontinuité, étant ceux d’abscisses rationnelles, forment un ensemble dénombrable.
La fonction est ici la fonction de Dirichlet (p. 15), fonction non intégrable puisque tous ses points sont des points de discontinuité.
On peut préciser les deux premiers théorèmes qui viennent d’être obtenus. Soient et deux fonctions intégrables ; partageons l’intervalle où elles sont données en parties , , …, dans lesquelles nous choisissons des valeurs , , …, . On a
![{\displaystyle \textstyle \sum \delta _{i}[f(x_{i})+\varphi (x_{i})]=\sum \delta _{i}f(x_{i})+\sum \delta _{i}\varphi (x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf3d9e2357595564bd481979de3b864b5418e7f)
or les trois sommes qui figurent dans cette égalité sont des valeurs approchées des intégrales de , , ; donc l’intégrale de est la somme des intégrales de et de [1]. En d’autres termes :
L’intégrale d’une somme est la somme des intégrales. On suppose, bien entendu, qu’il s’agisse d’une véritable somme, c’est-à-dire de la somme d’un nombre fini de termes et non pas d’une série.
Pour arriver au cas des séries uniformément convergentes, il nous sera commode de nous servir du théorème de la moyenne.
Soit une fonction comprise entre et dans . L’intégrale de est, on le sait, la limite de la somme , mais on a
- ↑ Il suffit de modifier légèrement la rédaction pour démontrer en même temps l’intégrabilité de , laquelle est supposée antérieurement démontrée dans la rédaction du texte.
