Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/42

26

CHAPITRE II.

dire que les intervalles $\delta _{1}$, dans lesquels $\omega _{i}$ est supérieur à un nombre positif $\varepsilon$ arbitrairement choisi, ont, pour $i$ assez grand, une longueur totale $\lambda$ aussi petite que l’on veut, car on a :

$\lambda \varepsilon \leqq \textstyle \sum \delta _{i}\omega _{i}\leqq (b-a-\lambda )\,\varepsilon +\lambda \Omega$,

$\Omega$ étant l’oscillation de $f(x)$ dans ${(a,b)}$. On a ainsi l’énoncé donné par Riemann :

Pour qu’une fonction bornée soit intégrable dans ${(a,b)}$, il faut et il suffit qu’on puisse diviser ${(a,b)}$ en intervalles partiels tels que la somme des longueurs de ceux de ces intervalles dans lesquels l’oscillation est plus grande que $\varepsilon$ soit aussi petite que l’on veut, et cela quel que soit ${\varepsilon >0}$.

Si une telle division est possible, il s’en trouve une infinité dans toute suite de divisions telles que le maximum de la longueur des intervalles partiels tende vers zéro, puisque, quelle que soit cette suite, $\textstyle \sum \delta _{i}\omega _{i}$ tend toujours vers le même nombre.

De cette propriété de $\textstyle \sum \delta _{i}\omega _{i}$ résulte aussi que, si, à une suite de divisions de la nature considérée, correspondent des nombres ${\underline {\mathrm {S} }}$ et ${\overline {\mathrm {S} }}$ ayant la même limite, nous pouvons affirmer l’intégrabilité de la fonction considérée.

La forme donnée par Riemann à la condition d’intégrabilité montre bien que les fonctions continues sont intégrables, mais elle ne met pas en évidence le rôle des points de discontinuité de la fonction. Paul Du Bois Reymond a mis ce rôle en évidence par une transformation de la condition d’intégrabilité. L’énoncé de Du Bois Reymond suppose connue la définition des groupes intégrables.

Un ensemble de points d’une droite constitue un groupe intégrable, si les points de l’ensemble peuvent être enfermés dans un nombre fini de segments dont la somme des longueurs est aussi petite que l’on veut^[1].

1. On peut, à volonté, considérer qu’un point est enfermé dans un intervalle, soit s’il est intérieur à cet intervalle ou confondu avec ses extrémités ; soit s’il est intérieur à l’intervalle, les extrémités exclues. Les deux définitions correspondantes des groupes intégrables sont évidemment identiques ; pour passer de la première à la seconde il suffit d’en allonger, d’aussi peu qu’on le veut, les intervalles, en leurs deux extrémités.