Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/41

25

LA DÉFINITION DE L’INTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN.

que ${{\overline {\mathrm {S} }}-{\underline {\mathrm {S} }}}$ tende vers zéro ; mais $\textstyle \sum \delta _{i}\omega _{i}$, tend vers ${(b-a)\omega }$, où $\omega$ est l’oscillation moyenne de $f(x)$ ; donc, pour que $f(x)$ soit intégrable, il faut qu’elle soit à oscillation moyenne nulle.

Cette condition est suffisante. Pour le démontrer, il suffit de prouver que ${\overline {\mathrm {S} }}$ a une limite bien déterminée, puisque ${{\overline {\mathrm {S} }}-\mathrm {S} }$ tend vers zéro. Supposons, pour faire cette étude, que l’on raisonne non sur la fonction $f$, mais sur ${f+k}$, $k$ étant une constante telle que ${f+k}$ ne soit jamais négative.

Soient, comme précédemment, page 22, les deux suites de divisions $\mathrm {D} _{1}$, $\mathrm {D} _{2}$, … ; $\Delta _{1}$, $\Delta _{2}$, … telles que le maximum de la longueur des intervalles partiels tende dans chaque suite vers zéro ; ce maximum est $\lambda _{j}$ pour $\Delta _{j}$. Soient ${\overline {\mathrm {S} _{1}}}$, ${\overline {\mathrm {S} _{2}}}$, … ; ${\overline {\Sigma _{1}}}$, ${\overline {\Sigma _{2}}}$, … les nombres analogues à ${\overline {\mathrm {S} }}$ et correspondant à ces divisions.

Comparons ${\overline {\mathrm {S} _{i}}}$ et ${\overline {\Sigma _{j}}}$. Partageons les intervalles de $\Delta _{j}$ en deux espèces, comme il a été dit dans l’étude de l’oscillation moyenne (p. 23). Les intervalles $d$ fournissent, dans ${\overline {\Sigma _{j}}}$, une contribution au plus égale à $n\lambda _{j}\mathrm {L}$, où $\mathrm {L}$ est le maximum de $f(x)$ dans ${(a,b)}$. Les intervalles $d'$ figurent tous dans $\Delta '_{j}$, à laquelle correspond ${\overline {\Sigma '_{j}}}$ ; donc, la contribution des intervalles $d'$ dans ${\overline {\Sigma _{j}}}$ est au plus égale à ${\overline {\Sigma '_{j}}}$. Mais $\Delta '_{j}$ s’obtient en morcelant les intervalles de $\mathrm {D} _{i}$ ; il est évident, dans ces conditions, que ${\overline {\Sigma '_{j}}}$ est au plus égale à ${\overline {\mathrm {S} _{i}}}$. De tout cela on tire

${\overline {\Sigma _{j}}}\leqq {\overline {\mathrm {S} _{i}}}+n\mathrm {L} \lambda _{j}$.

De cette inégalité on conclut, comme précédemment, que ${\overline {\mathrm {S} _{i}}}$ et ${\overline {\Sigma _{j}}}$ ont la même limite et même qu’ils tendent uniformément vers cette limite.

La propriété est démontrée pour ${f+k}$, donc elle est vraie pour $f$, car, en passant de $f$ à ${f+k}$, on augmente toutes les sommes ${\overline {\mathrm {S} }}$ de $k(b-a)$.

Il est important, pour la suite, de remarquer que nous avons démontré l’existence d’une limite pour ${\overline {\mathrm {S} }}$ sans faire aucune hypothèse sur la fonction bornée $f(x)$. La condition que $f(x)$ est à oscillation moyenne nulle est intervenue seulement lorsque, de l’existence d’une limite pour ${\overline {\mathrm {S} }}$, nous avons déduit l’existence d’une limite pour $\mathrm {S}$.

On peut transformer la condition d’intégrabilité obtenue : il faut et il suffit que la somme $\textstyle \sum \delta _{i}\omega _{i}$ tende vers zéro. Cela revient à