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LA DÉFINITION DE L’INTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN.

nombres $\mathrm {A} _{1}$, $\mathrm {A} _{2}$, … ; à celles, $\Delta _{i}$, de la seconde des nombres $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …. Nous supposons que, pour chacune des deux séries, le maximum de la longueur des intervalles employés dans la $i$^ième division tend vers zéro avec ${\frac {1}{i}}$^[1] ; dans ces conditions nous allons voir que les $\mathrm {A} _{i}$ et $\alpha _{i}$ ont une même limite.

Comparons $\mathrm {A} _{i}$ et $\alpha _{j}$ ; les intervalles de la division $\Delta _{j}$ sont de deux espèces : les uns, les intervalles $d$, contiennent à leur intérieur des points de la division $\mathrm {D} _{i}$ ; les autres, les intervalles $d'$, sont compris dans les intervalles de $\mathrm {D} _{i}$. La contribution des intervalles $d$ au numérateur de $\alpha _{j}$ est au plus $n\lambda _{j}\Omega$, si $n$ est le nombre des points de division de $\mathrm {D} _{i}$ et $\lambda _{j}$ le maximum de la longueur des intervalles de $\Delta _{j}$. Les intervalles $d'$ font partie de la division $\Delta '_{j}$ obtenue en réunissant les points de division de $\mathrm {D} _{i}$ et $\Delta _{j}$, donc ils fournissent au numérateur de $\alpha _{j}$ une contribution au plus égale à $(b-a)\mathrm {A} '_{j}$, où $\mathrm {A} '_{j}$ est le nombre analogue à $\mathrm {A}$ et relatif à $\Delta '_{j}$. Mais, puisque l’on sait que $\mathrm {A} '_{j}$ est au plus égal à $\mathrm {A} _{i}$, on en déduit

$\alpha _{j}\leqq \mathrm {A} _{i}+n\lambda _{j}\Omega$.

Dirichlet Tous les $\alpha _{j}$, à partir d’un certain indice, sont inférieurs à ${\mathrm {A} _{i}+\varepsilon }$, ($\varepsilon >0$) ; donc leur plus grande limite est au plus ${\mathrm {A} _{i}+\varepsilon }$ et, puisque $i$ et $\varepsilon$ sont quelconques, la plus grande limite de $\alpha _{j}$ est au plus égale à la plus petite des $\mathrm {A} _{i}$. Rien n’empêche d’échanger dans le raisonnement $\mathrm {A} _{i}$ et $\alpha _{j}$ ; donc, toutes les limites des $\mathrm {A} _{i}$ et des $\alpha _{j}$ sont égales, $\mathrm {A} _{i}$ tend vers une limite déterminée. Cette limite $\omega$ est l’oscillation moyenne de la fonction dans ${(a,b)}$.

Il faut remarquer ce que nous avons démontré : $\mathrm {A} _{i}$ tend uniformément vers $\omega$ ; c’est-à-dire que, dès que tous les intervalles sont inférieurs à un certain nombre $\lambda$, le nombre $\mathrm {A}$ ne diffère de $\omega$ que d’une quantité inférieure à $\varepsilon$ choisi à l’avance.

II. — Conditions d’intégrabilité.

Ces définitions posées, arrivons à la définition de l’intégrale telle que l’a donnée Riemann.

1. Les points de division employés dans la $i$^ième division ne sont pas nécessairement employés dans la $(i+1)$^ième ; en d’autres termes, pour passer d’une division à la suivante, on ne subdivise pas les intervalles de cette division, on marque de nouveaux intervalles sans s’occuper de ceux précédemment employés.