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CHAPITRE II.

points $a_{p}$, $b_{p}$, tels que ${b_{p}-a_{p}}$ tende vers zéro et que l’on ait

$\left\vert f(b_{p})-f(a_{p})\right\vert >\omega +\varepsilon$.

L’ensemble des $a_{p}$ a, au moins, un point limite $\alpha$. Si l’on prend une suite de valeurs $a_{p}$ tendant vers $\alpha$, les $b_{p}$ tendent aussi vers $\alpha$, donc en $\alpha$ l’oscillation est au moins ${\omega +\varepsilon }$. Il y a là une contradiction avec l’hypothèse.

La propriété est démontrée. Dans le cas où ${\omega =0}$, elle se réduit à ce fait bien connu : une fonction continue en tous les points d’un intervalle est continue dans cet intervalle^[1].

La réciproque de notre propriété n’est pas vraie. Soit une fonction égale à −1 pour $x$ négatif, à +1 pour $x$ positif, nulle pour $x$ nul. Son oscillation pour ${x=0}$ est 2 et, cependant, si l’on emploie le point de division ${x=0}$, la fonction a une oscillation seulement égale à 1 dans chacun des deux intervalles obtenus.

Nous allons maintenant définir l’oscillation moyenne d’une fonction bornée $f(x)$ définie dans un intervalle fini ${(a,b)}$. Partageons ${(a,b)}$ en intervalles partiels $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, …, $\delta _{n}$. Soit $\omega _{i}$ l’oscillation de $f(x)$ dans l’intervalle $\delta _{i}$, les extrémités de $\delta _{i}$ étant ou non considérées comme faisant partie de l’intervalle. Et formons la quantité

$\mathrm {A} ={\frac {\delta _{1}\omega _{1}+\delta _{2}\omega _{2}+\ldots +\delta _{n}\omega _{n}}{b-a}}$.

Si $\Omega$ est l’oscillation de $f(x)$ dans ${(a,b)}$, $\omega _{1}$, $\omega _{2}$, …, $\omega _{n}$ étant au plus égaux à $\Omega$, $\mathrm {A}$ est au plus égal à $\Omega$. Si donc nous divisons $\delta _{i}$ en intervalles partiels $\delta _{i}^{1}$, $\delta _{i}^{2}$, …, $\delta _{i}^{p_{i}}$, auxquels correspondent les oscillations $\omega _{i}^{1}$, $\omega _{i}^{2}$, …, $\omega _{i}^{p_{i}}$, on a

$\delta _{i}\omega _{i}\geqq \sum _{j=1}^{j=p_{i}}\delta _{i}^{j}\omega _{i}^{j}$.

En subdivisant les intervalles $\delta _{i}$ on remplace donc $\mathrm {A}$ par un nombre plus petit ou au plus égal.

Considérons deux séries de divisions de ${(a,b)}$ en intervalles partiels ; aux divisions, $\mathrm {D} _{i}$, de la première série correspondent les

1. C’est cette propriété que l’on énonce : la continuité est uniforme. On exprime par là que la quantité $\eta (\varepsilon )$ peut être choisie uniformément dans l’intervalle considéré, c’est-à-dire indépendamment de la variable $x$ ; voir page 4.

   Le théorème général que nous avons démontré ici est dû à M. R. Baire.