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NOTE SUR LES NOMBRES TRANSFINIS.

De cette démonstration il résulte aussi que, dans , il n’y a, au plus, qu’une infinité dénombrable de points de puisqu’il n’y en a qu’une infinité dénombrable au plus dans , quel que soit . Donc ne peut être en . Il y a au moins un point d’accumulation à l’intérieur de .

Un point d’accumulation ne peut, d’après cela, être isolé ; car, si était seul point d’accumulation de dans , il n’y aurait qu’au plus une infinité dénombrable de points de et dans et dans , donc dans  ; et ne serait pas un point d’accumulation. Or l’ensemble des points d’accumulation est évidemment fermé, donc : l’ensemble des points d’accumulation d’un ensemble non dénombrable est parfait.

Appliquons ceci à un ensemble fermé  ; il contient alors son dérivé et a fortiori l’ensemble parfait de ses points d’accumulation. Donc est la somme de et de l’ensemble de ceux de ses points qui sont contenus dans les divers intervalles contigus à . Mais dans chaque il n’y a qu’au plus une infinité dénombrable de points de , les sont en nombre fini ou dénombrable, donc l’ensemble est dénombrable. Le théorème de Cantor-Bendixson est démontré :

.

Si n’avait pas été supposé fermé, on aurait vu de même que l’ensemble des points de qui ne sont pas points d’accumulation de , est dénombrable. Quant aux points de ce sont ceux des points d’accumulation de qui appartiennent à , ils forment un ensemble non seulement partout dense sur l’ensemble des points d’accumulation, mais partout accumulé sur . En entendant par là que, dans tout intervalle contenant des points de à son intérieur, il y a une infinité non dénombrable de points communs à et à  ; sans quoi, en effet, serait dénombrable dans , ce qui est absurde.

La nouvelle méthode prouve donc très simplement le théorème de Cantor-Bendixson et même le généralise ; de plus, elle résout le problème de Cantor-Bendixson si l’on fait la convention que déterminer les points d’accumulation d’un ensemble est l’une des opérations que nous regarderons comme toujours possible effectivement. Et cela parce que nous savons, en fait, l’effectuer souvent.

FIN.