Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/35

19

LA DÉFINITION DE L’INTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN.

$\delta '_{j}$ est contenu dans $\delta _{i}$ ; si $k$ est assez grand, $\delta _{k}$ est contenu dans $\delta '_{j}$ ; donc on a

$l_{i}\leqq l'_{j}\leqq l_{k}\leqq \mathrm {L} _{k}\leqq \mathrm {L} '_{j}\leqq \mathrm {L} _{i}$,

ce qui suffit à démontrer la propriété.

Les nombres $\mathrm {L}$, $l$, $\omega$ sont appelés le maximum ou limite supérieure, le minimum ou limite inférieure et l’oscillation de la fonction en $\mathrm {A}$. $\mathrm {A}$ est un point de continuité ou de discontinuité, suivant que $\omega$ est nul ou positif, c’est-à-dire suivant que $\mathrm {L}$ et $l$ sont égaux ou inégaux^[1].

Si $x_{0}$ est l’abscisse de $\mathrm {A}$ et si l’on convient de ne considérer que les valeurs de $x$ supérieures à $x_{0}$ (${x>x_{0}}$), on obtient le maximum $\mathrm {M} _{d}$, le minimum $m_{d}$ et l’oscillation $\omega _{d}$ à droite en $\mathrm {A}$, au delà de $\mathrm {A}$. Si ${\omega _{d}=0}$, c’est-à-dire si ${\mathrm {M} _{d}=m_{d}}$, ${f(x_{0}+0)}$ existe et est égale à $\mathrm {M} _{d}$ ; la fonction est dite continue à droite au point $x_{0}$, au delà de $x_{0}$. Si ${\mathrm {M} _{d}=m_{d}=f(x_{0})}$, la fonction $f(x)$ est dite continue à droite au point $x_{0}$. On définit de même les nombres $\mathrm {M} _{g}$, $m_{g}$, $\omega _{g}$^[2].

Si $\omega _{d}$ et $\omega _{g}$ sont nuls, c’est-à-dire si ${f(x_{0}+0)}$ et ${f(x_{0}-0)}$ existent, la discontinuité est dite de première espèce, sinon elle est dite de seconde espèce.

Toutes ces définitions pourraient être données pour des fonctions non bornées ; rien ne serait changé, sauf que les nombres définis ne seraient plus nécessairement finis.

Aux notions précédentes, on peut rattacher la notion de limite d’indétermination qui nous sera souvent utile ; cette notion est due à P. Du Bois Reymond.

Un procédé de calcul fournit, dans certaines conditions, un nombre déterminé $\varphi$ ; dans d’autres conditions, au contraire, il ne fournit plus un nombre déterminé, mais, suivant la manière dont

1. À ces définitions se rattachent les notions très importantes de fonction semi-continue inférieurement, de fonction semi-continue supérieurement introduites par M. Baire. Ce sont les fonctions $f$ qui sont égales en chaque point respectivement au nombre $l$ ou $\mathrm {L}$ attaché à $f$ en ce point.
2. La définition précédente est celle des maximum, minimum, oscillation de $f(x)$ à droite de $x_{0}$, $x_{0}$ étant exclu. On considère aussi souvent les mêmes nombres, $x_{0}$ n’étant pas exclu ; il faut alors prendre les valeurs de $x$ égales ou supérieures à $x_{0}$ (${x\geqq x_{0}}$). C’est à cette façon d’opérer que se rattache la notion de continuité à droite au point $x_{0}$.