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SUR LES NOMBRES TRANSFINIS.

l’on prend une suite croissante de nombres $\lambda _{i}$ définissant $\mu$ comme premier nombre supérieur auquel cas les points $x_{\lambda _{i}}$ tendent en croissant vers $x_{\mu }$, on a, à cause de la continuité de $\mathrm {F}$,

$\mathrm {S} _{\mu }=\lim _{i\to \infty }\mathrm {S} _{\lambda _{i}}=\lim \,\left[\mathrm {F} (x_{\lambda _{i}})-\mathrm {F} (a)\right]=\mathrm {F} (x_{\mu })-\mathrm {F} (a)$.

D’où, par récurrence transfinie, on voit que la série est convergente et de somme

$\mathrm {S} =\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)$.

Voici, relativement aux séries transfinies, deux propositions dont on utilise fréquemment des cas particuliers dans l’analyse classique, par exemple pour la transformation d’une série ordinaire en série à double entrée.

Dans une série transfinie convergente, on peut grouper n’importe comment les termes consécutifs et considérer comme effectuées les sommations partielles ainsi mises en évidence. En d’autres termes, si l’on a

$0=\lambda _{0}<\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{\mu }<\ldots <\alpha$,

les $\mu$ constituant une suite finie, simplement infinie ou transfinie de type d’ordre $\beta$ on a, si la première série est convergente,

$\sum _{\lambda =0}^{\lambda <\alpha }u_{\lambda }=\sum _{\mu =0}^{\mu <\beta }\left(\sum _{\lambda =\lambda _{\mu }}^{\lambda <\lambda _{\mu }+1}u_{\lambda }\right)$.

Ce théorème résulte de suite de l’égalité

$\sum _{\lambda =0}^{\lambda <\alpha }=\sum _{\lambda =0}^{\lambda <\alpha _{1}}+\sum _{\lambda =\alpha _{1}}^{\lambda <\alpha }\qquad$ pour ${\alpha _{1}<\alpha }$ ;

que l’on vérifiera facilement.

Si, en remplaçant les termes d’une série transfinie par leurs valeurs absolues, on obtient des sommes partielles bornées dans leur ensemble, la série est convergente ; elle reste convergente dans quelque ordre (bien ordonné) que l’on range ses termes, et sa somme ne dépend pas de cet ordre.

On peut démontrer cette propriété de bien des manières par récurrence transfinie ; mais rappelons à son occasion que l’on peut toujours masquer l’emploi de cette récurrence grâce à un raisonnement par l’absurde.

Il nous suffit évidemment de montrer que si l’on range en une série (simplement infinie) ${\mathrm {V} _{\alpha }=\textstyle \sum v_{n}}$ les termes $u_{\lambda }$ d’une série transfinie ${\sum _{\lambda =1}^{\lambda <\alpha }u_{\lambda }}$ de la nature indiquée dans l’énoncé, c’est-à-dire absolument convergente,