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NOTE.

bole ${\mathrm {S} =\sum ^{\lambda <\alpha }u_{\lambda }}$, représente une série transfinie de type d’ordre $\alpha$. Posons

${\mathrm {S} _{i}=\sum _{\lambda =0}^{\lambda <i}u_{\lambda }}$ ;

les $\mathrm {S} _{i}$ sont dits les séries partielles de $\mathrm {S}$. Les $\mathrm {S} _{i}$, en tant que nombres, ont un sens pour $i$ fini ; pour ${i=\omega }$ on convient que $\mathrm {S} _{i}$, en tant que nombre, n’existe que si la série ordinaire ${\sum _{\lambda =1}^{\lambda <\omega }u_{\lambda }}$ est convergente et qu’il est alors égal à la somme de cette série. Les nombres $\mathrm {S} _{i}$ ainsi définis, pour ${i\leqq \omega }$, sont des sommes partielles de $\mathrm {S}$. Pour prolonger la définition de ces nombres à tout indice au plus égal à $\alpha$, convenons que l’on aura, pour tout $\lambda$ de première espèce

$\mathrm {S} _{\lambda }=\mathrm {S} _{\lambda -1}+u_{\lambda -1}$,

et que, pour tout $\lambda$ de seconde espèce, $\mathrm {S} _{\lambda }$ désignera la limite, si elle existe, vers laquelle tend toute suite $\mathrm {S} _{\lambda _{1}}$, $\mathrm {S} _{\lambda _{2}}$, … simplement infinie et relative à des nombres $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, … croissants et définissant $\lambda$ comme le plus petit nombre qui leur soit supérieur.

Lorsque ces définitions s’appliquent à toutes les valeurs de $\lambda$ au plus égales $\alpha$, ${\lambda \leqq \alpha }$, la série transfinie est dite convergente et sa somme $\mathrm {S}$ est le nombre $\mathrm {S} _{\alpha }$ qui vient d’être défini. La convergence d’une série de type d’ordre $\alpha$ exige donc l’existence d’une limite déterminée pour chaque nombre de seconde espèce, au plus égal à $\alpha$.

Pour la série

$\sum _{\lambda =1}^{\lambda <\alpha }\left[\mathrm {F} (x_{\lambda })-\mathrm {F} (x_{\lambda -1})\right]$,

relative à une fonction continue $\mathrm {F} (x)$, dans laquelle on a supposé ${x_{0}=a}$, ${x_{\alpha }=b}$ et dans laquelle on remplace ${\mathrm {F} (x_{\lambda })-\mathrm {F} (x_{\lambda -1})}$ par zéro quand $\lambda$ est de seconde espèce, il est clair que :

1^o  On a

$\mathrm {S} _{1}=\mathrm {F} (x_{1})-\mathrm {F} (a)$ ;

2^o  Que si l’on a

$\mathrm {S} _{\lambda -1}=\mathrm {F} (x_{\lambda -1})-\mathrm {F} (a)$,

on a

${\begin{aligned}\mathrm {S} _{\lambda }=\mathrm {S} _{\lambda -1}+u_{\lambda -1}&=\left[\mathrm {F} (x_{\lambda -1})-\mathrm {F} (a)\right]+\left[\mathrm {F} (x_{\lambda })-\mathrm {F} (x_{\lambda -1})\right]\\&=\mathrm {F} (x_{\lambda })-\mathrm {F} (a){\text{.}}\end{aligned}}$

3^o  Que si l’on a

$\mathrm {S} _{\lambda }=\mathrm {F} (x_{\lambda })-\mathrm {F} (a)$

pour tous les nombres $\lambda$ inférieurs à un nombre $\mu$ de seconde espèce et si