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NOTE.

que tout ensemble parfait est non dénombrable ou, d’une façon plus précise, a la puissance du continu. Ceci est évident s’il s’agit d’un ensemble contenant un intervalle ; supposons donc que $\mathrm {E}$ soit un ensemble parfait partout non dense, dont nous désignons par $a$ et $b$ les points extrêmes. Or nous avons associé (p. 13) à un tel ensemble $\mathrm {E}$ une fonction $\varphi (x)$ continue, constante dans tout intervalle contigu à $\mathrm {E}$, croissante dans tout intervalle contenant des points de $\mathrm {E}$ et qui varie de 0 à 1 quand $x$ varie de $a$ à $b$. L’équation ${\varphi (x)=m}$ admet pour chaque valeur de $m$ comprise entre 0 et 1 soit une seule solution $x_{0}$, $x_{0}$ est alors l’abscisse d’un point de $\mathrm {E}$, soit une infinité de solutions données par une double inégalité ${x_{1}\leqq x\leqq x_{2}}$, alors $x_{1}$ et $x_{2}$ sont les abscisses des deux extrémités d’un intervalle contigu à $\mathrm {E}$. Ainsi à chaque valeur $m$ de (0, 1), nous faisons correspondre soit un point $x_{0}$ de $\mathrm {E}$, soit deux points $x_{1}$ et $x_{2}$ de $\mathrm {E}$ ; $\mathrm {E}$ a donc la puissance du continu.

Notons aussi que le raisonnement de la page 323 prouve que : toute suite d’ensembles fermés tous différents, tels que chacun d’eux contienne ceux qui viennent après lui dans la suite, est nécessairement finie ou dénombrable.

IV. — Une notation des nombres transfinis nous est-elle nécessaire ?

Dans le cours de ce livre, nous faisons plusieurs fois appel à la notion de nombre transfini ; il importe donc d’éclaircir cette notion et d’amener, si possible, le lecteur à cette conviction qu’il lui suffirait de se familiariser avec la suite des nombres transfinis en l’utilisant fréquemment pour acquérir de cette suite une vue aussi claire que celle qu’il a de la suite des entiers^[1].

Quand on entend parler pour la première fois de la suite $\mathrm {S} _{0}$, des nombres finis et transfinis, on croit volontiers que tout deviendrait net, si l’on avait une notation des nombres transfinis. Or il est clair qu’on n’en saurait avoir une : nous ne pouvons manier qu’un nombre fini de symboles ou de sons et les combiner seulement d’un nombre fini de manières, ce qui

des points communs à tous ces dérivés. Cet ensemble $\mathrm {E} _{\Omega }$ est une sorte de dérivé venant après tous ceux, relatifs aux nombres transfinis de $\mathrm {S} _{0}$, le symbole $\Omega$ est, pour Cantor, le premier nombre transfini de la seconde classe de nombres transfinis ; il vient après tous les éléments de $\mathrm {S} _{0}$.

Nous avons évité, au contraire, de raisonner sur l’ensemble $\mathrm {S} _{0}$ conçu comme actuellement formé tout entier ; nous n’avons raisonné que sur le procédé de formation de $\mathrm {S} _{0}$ et sur l’un quelconque des segments de $\mathrm {S} _{0}$ obtenus au cours de l’application de ce procédé. De cette manière, nous n’utilisons à aucun moment un ensemble bien ordonné non dénombrable.

1. Mon but est ainsi nettement délimité ; je n’aborderai donc pas les questions, plus philosophiques que mathématiques, que pose la conception de la suite des entiers. Cette notion est considérée par moi comme acquise et parfaitement claire.