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CHAPITRE II.

des fonctions bornées que l’on s’est le plus souvent limité^[1]. Lorsqu’une fonction est bornée, elle admet une limite supérieure $\mathrm {L}$ et une limite inférieure $l$ ; ces nombres sont définis, on le sait, par la condition que ${(l,\mathrm {L} )}$ soit le plus petit intervalle contenant toutes les valeurs de $f(x)$. ${\omega =\mathrm {L} -l}$ est dit l’oscillation de $f(x)$.

Soit $\mathrm {A}$ un point limite de l’ensemble $\mathrm {E}$ sur lequel $f(x)$ est définie^[2]. Soit $\delta _{1}$ un intervalle contenant $\mathrm {A}$ ; dans cet intervalle il existe des points de $\mathrm {E}$ ; ils forment un ensemble $e_{1}$. La fonction $f(x)$ définie sur $e_{1}$ admet des limites supérieure et inférieure, $\mathrm {L} _{1}$, $l_{1}$, une oscillation $\omega _{1}$. Soit $\delta _{2}$ un intervalle contenant $\mathrm {A}$ et compris dans $\delta _{1}$, il lui correspond les nombres $\mathrm {L} _{2}$, $l_{2}$, $\omega _{2}$ ; et l’on a évidemment

$l_{1}\leqq l_{2}\leqq \mathrm {L} _{2}\leqq \mathrm {L} _{1}$,$\mathrm {L} _{2}-l_{2}=\omega _{2}\leqq \omega _{1}$.

Si nous considérons des intervalles $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, $\delta _{3}$, … contenant tous $\mathrm {A}$, compris les uns dans les autres, et dont les longueurs tendent vers zéro, nous avons une suite de limites supérieures et inférieures vérifiant les inégalités

$l_{1}\leqq l_{2}\leqq l_{3}\leqq \ldots \leqq \mathrm {L} _{3}\leqq \mathrm {L} _{2}\leqq \mathrm {L} _{1}$.

Les $l_{i}$ d’une part, les $\mathrm {L} _{i}$ d’autre part, tendent donc vers deux limites $l$ et $\mathrm {L}$ (${l\leqq \mathrm {L} }$) et les $\omega _{i}$ tendent vers

$\omega =\mathrm {L} -l$.

Nous allons voir que les nombres ainsi obtenus, $\mathrm {L}$, $l$, $\omega$, sont aussi les limites des nombres $\mathrm {L} '_{i}$, $l'_{i}$, $\omega '_{i}$ correspondant à des intervalles $\delta '_{i}$ contenant $\mathrm {A}$ et dont les deux extrémités tendent vers $\mathrm {A}$ quand $i$ augmente indéfiniment ; en d’autres termes, ils sont indépendants du choix des intervalles $\delta _{i}$ et l’on peut supposer que ces intervalles ne sont pas contenus nécessairement les uns dans les autres. En effet, $i$ étant choisi arbitrairement, si $j$ est assez grand,

1. On constate souvent que des questions très simples à traiter lorsqu’on se limite aux fonctions bornées sont, au contraire, très compliquées pour les fonctions les plus générales. Aussi j’ai indiqué soigneusement dans la suite si les théorèmes obtenus sont valables pour toutes les fonctions ou seulement pour des fonctions bornées ; tandis que, le plus souvent, on omet d’indiquer explicitement que les fonctions dont on s’occupe sont bornées.
2. $\mathrm {A}$ ne fait pas nécessairement partie de $\mathrm {E}$.