ordonné de points déterminé et aussi pour le numérotage des dérivés successifs d’un ensemble déterminé. Le premier fait est évident, il résulte de ce que tout ensemble bien ordonné de points sur une droite est dénombrable ; en effet, si l’on compte les abscisses de ces points à partir du premier d’entre eux et dans le sens ou se succèdent les points, la transformation remplace l’ensemble bien ordonné donné par un ensemble de points de (0, 1) bien ordonné dans le sens décroissant. Chaque point de est l’extrémité d’un intervalle dont l’origine est le point de d’abscisse immédiatement inférieure à celle de . On a donc autant de ces intervalles que de points ; ces intervalles sont non empiétants, il y a donc au plus de longueur non inférieure à et cela quel que soit ; donc l’ensemble de ces intervalles est fini ou dénombrable ; l’ensemble proposé est dénombrable au plus.
L’autre fait est bien autrement caché. Il est le résultat de l’analyse faite par Cantor des propriétés des dérivés. Dans ce paragraphe, sans suivre pas à pas les considérations de Cantor, nous ne nous écarterons pas essentiellement des idées qui l’ont guidé.
V. Les points de qui ne font pas partie de , (), forment un ensemble dénombrable. — En effet, les points de qui ne font pas partie de sont isolés dans ; chacun d’eux peut donc être enfermé dans un intervalle ne contenant pas d’autre point de et l’on peut prendre ces intervalles sans points communs. Donc ces intervalles forment au plus une infinité dénombrable ; les points de qui ne font pas partie de forment donc un ensemble fini ou dénombrable.
De même les points de ne faisant pas partie de forment un ensemble fini ou dénombrable. Or, l’ensemble dont parle l’énoncé est la somme des pour les valeurs de inférieures à , lesquelles sont en nombre fini ou dénombrable ; donc cet ensemble est lui-même fini ou dénombrable.
On peut d’ailleurs dire aussi que les points de qui ne font pas partie de forment un ensemble fini ou dénombrable, car le même raisonnement qui nous a montré que les ensembles sont au plus dénombrables prouve qu’il en est de même pour l’ensemble des points de ne faisant pas partie de . De là il résulte que tout ensemble de points dont l’un des dérivés ne contient aucun point est au plus dénombrable. Ces ensembles sont appelés ensembles réductibles. Ce sont des ensembles dénombrables particuliers : l’ensemble des nombres rationnels est dénombrable, mais n’est pas réductible.
Lorsqu’un ensemble n’est pas réductible, deux cas sont, a priori, possibles. Ou bien, au cours des opérations de dérivation, on arrive à un ensemble dérivé qui est parfait et alors, suivant nos conventions, nous arrêtons à cet ensemble nos opérations de dérivation, c’est-à-dire que nous ne considérons que les dérivés différents , , …, . Ou
