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SUR LES NOMBRES TRANSFINIS.

II. — Les ensembles bien ordonnés. Les nombres transfinis.

Cantor dit qu’un ensemble d’éléments est ordonné s’il a été établi entre deux déments quelconques de cet ensemble une relation qui peut s’exprimer avec les mots avant et après ; ces mots étant soumis aux règles d’emploi usuelles. C’est-à-dire que si l’on dit $\alpha$ est avant $\beta$, cela entraînera : $\beta$ est après $\alpha$ ; que si l’on dit $\alpha$ est avant $\beta$ qui est avant $\gamma$, cela entraînera : $\alpha$ est avant $\gamma$.

Cantor dit qu’un ensemble $\mathrm {E}$ est bien ordonné, s’il est ordonné de telle manière que, dans cet ensemble $\mathrm {E}$, et dans chaque ensemble partiel $\mathrm {P}$ qu’on peut déduire de $\mathrm {E}$ en supprimant des éléments, il y a un élément venant avant tous les autres.

Si l’on convient qu’avant signifie plus petit que, tout ensemble de nombres réels est ordonné, mais il n’est pas toujours bien ordonné. L’ensemble des nombres compris entre 0 et 1, l’ensemble des entiers positifs et négatifs ne sont pas bien ordonnés. Par contre, l’ensemble des nombres positifs, qui, dans le système décimal s’écrivent avec une suite non croissante de chiffres décimaux, c’est-à-dire l’ensemble des nombres

$n+{\frac {a}{10}}+{\frac {b}{100}}+{\frac {c}{1000}}+\ldots$,

$n$ entier, les chiffres $a$, $b$, $c$, … vérifiant les inégalités ${9\geqq a\geqq b\geqq c\geqq \ldots }$, est bien ordonné.

L’ensemble des ensembles $\mathrm {A} _{1}$, $\mathrm {A} _{2}$, …, $\mathrm {A} _{\omega }$, $\mathrm {A} _{\omega +1}$ est bien ordonné quand on range les ensembles $\mathrm {A}$ dans l’ordre où nous les avons obtenus ; il n’est qu’ordonné si on les range dans l’ordre inverse.

L’ensemble ${\mathcal {E}}$ des dérivés d’un ensemble est bien ordonné : le mot avant ayant la signification indiquée, c’est-à-dire que le dérivé $\Delta _{1}$ est avant le dérivé $\Delta _{2}$, si $\Delta _{1}$ contient $\Delta _{2}$. En effet, ${\mathcal {E}}$ est ordonné, il contient un élément avant tous les autres, le dérivé $\mathrm {E} ^{1}$. Soit $\mathrm {P}$ un ensemble partiel déduit de ${\mathcal {E}}$. Soit $\alpha$ un dérivé situé dans $\mathrm {P}$ ; avant il y a au plus une infinité dénombrable de dérivés, l’ensemble ${\mathcal {E}}_{1}$ des dérivés situés avant tous ceux de $\mathrm {P}$, contient donc au plus une infinité dénombrable d’éléments. Si $\mathrm {E} ^{1}$ est dans $\mathrm {P}$, ${\mathcal {E}}_{1}$ n’existe pas ; dans ce cas $\mathrm {P}$ admet l’élément $\mathrm {E} ^{1}$ qui est avant tous les autres. Si $\mathrm {E} ^{1}$ n’est pas dans $\mathrm {P}$, ${\mathcal {E}}_{1}$ existe et il existe un dérivé de $\mathrm {P}$ qui est le premier, venant après tous ceux de ${\mathcal {E}}_{1}$. Ce dérivé $\lambda$ appartient à $\mathrm {P}$ et il ne saurait y avoir dans $\mathrm {P}$ de dérivé venant avant celui-ci ; $\lambda$ est donc un élément de $\mathrm {P}$ venant avant tous les autres. ${\mathcal {E}}$ est bien ordonné.

Les ensembles de dérivés sont tels qu’avant chacun de leurs éléments il y a au plus une infinité dénombrable d’éléments ; nous ne nous occuperons que des ensembles bien ordonnés possédant cette propriété ; nous réserverons le nom de suite pour ces ensembles^[1]. Les nombres transfinis que

1. Nous réserverons le nom de suite simplement infinie pour les suites dont les éléments se notent à l’aide des entiers successifs.