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NOTE.

des dérivés en nombre fini ou dénombrable, s’ils contiennent tous des points et s’ils sont différents deux à deux il existe des points qui leur sont communs à tous.

En effet, rangeons $\mathrm {E} ^{\alpha }$, $\mathrm {E} ^{\beta }$, … en une suite $\mathrm {S}$ finie ou simplement infinie, soit $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, … cette suite. Nous pourrons comparer deux ensembles ${\mathrm {E} _{i}=\mathrm {E} ^{\lambda }}$, ${\mathrm {E} _{j}=\mathrm {E} ^{\mu }}$ à deux points de vue : soit en tant que dérivés, c’est-à-dire en considérant les indices supérieurs $\lambda$, $\mu$, et nous emploierons alors les mots avant, et après pour énoncer les résultats de cette comparaison ; soit en tant que termes de la suite $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, …, c’est-à-dire en considérant les indices inférieurs $i$, $j$, et nous emploierons alors les mots devant et derrière. Barrons dans $\mathrm {S}$ les termes qui sont à la fois avant $\mathrm {E} _{1}$ et derrière $\mathrm {E} _{1}$ ; nous obtenons $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {F} _{2}$, $\mathrm {F} _{3}$, … Dans cette suite, barrons les termes qui sont à la fois avant $\mathrm {F} _{2}$ et derrière $\mathrm {F_{2}}$, etc. Nous obtenons finalement une suite $\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {F} _{2}$, $\mathrm {G} _{3}$, … pour laquelle il y a accord entre les mots avant et devant, entre les mots après et derrière ; il en résulte que chacun des ensembles de cette suite $\Sigma$ contient tous ceux qui sont derrière lui et comme ces ensembles sont fermés il y a un ensemble fermé de points communs à tous les ensembles de $\Sigma$. Tout point de cet ensemble ${\mathcal {E}}$ est évidemment commun à tous les ensembles de $\mathrm {S}$ et inversement puisque tout ensemble de $\mathrm {S}$ fait partie de $\Sigma$ ou vient avant un ensemble de $\Sigma$ ; pour la même raison ${\mathcal {E}}$ ne serait pas changé si nous remplacions la suite $\mathrm {S}$ par toute autre suite $\mathrm {S'}$ formée de dérivés de $\mathrm {E}$ et telle que tout terme de l’une de ces suites appartienne à l’autre, ou soit avant un ensemble de cet autre.

À cause de ces faits, et par analogie avec la définition de $\mathrm {E} ^{\omega }$, nous énonçons la proposition et la définition suivante :

III. Lorsque des dérivés d’un ensemble, en nombre fini ou dénombrable, contiennent tous des points, il existe des points communs à tous ces dérivés. L’ensemble de ces points, qui est évidemment fermé, est, par définition, le premier dérivé qui ne vient pas avant ceux donnés^[1].

Pour que cette définition soit acceptable il faut que, si dans la suite $\mathrm {S}$ il y avait un ensemble $e$ venant après tous les autres, ce soit à celui-ci que nous conduise notre définition. Or, il en est bien ainsi, car $e$, venant après les autres, est contenu dans les autres, et il constitue donc bien l’ensemble des points communs à tous les ensembles de $\mathrm {S}$. Dans le cas que nous examinons en ce moment, la suite $\Sigma$ est limitée et inversement ; $e$ est le dernier terme de $\Sigma$. Dans les autres cas, le dérivé défini est dit le premier dérivé venant après les dérivés donnés.

Par définition même, avant chaque dérivé il y a au plus une infinité dénombrable de dérivés.

1. Le raisonnement qui nous a servi donne un résultat général qui s’énonce, à l’aide d’une notion définie dans le paragraphe suivant, sous la forme : Un ensemble bien ordonné dénombrable d’ensembles fermés, tels que chacun d’eux contienne tous ceux qui le suivent, étant donné ; il y a des points communs à tous ces ensembles et ces points forment un ensemble fermé.