Page:Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/331

315

SUR LES NOMBRES TRANSFINIS.

ensemble parfait. Mais ces ensembles peuvent être tous distincts. Voici le procédé de construction que nous emploierons pour le voir :

Soient des ensembles $e_{1}$, $e_{2}$, … situés sur (0, 1). Divisons (0, 1) en intervalles partiels $\left({\frac {1}{2}},1\right)$, $\left({\frac {1}{2^{2}}},{\frac {1}{2}}\right)$, $\left({\frac {1}{2^{3}}},{\frac {1}{2^{2}}}\right)$, …. Effectuons sur $e_{i}$ la transformation homothétique qui remplace (0, 1) par $\left({\frac {1}{2^{i}}},{\frac {1}{2^{i-1}}}\right)$ ; $e_{i}$ devient ${\mathcal {E}}_{i}$. La somme de ces ensembles ${\mathcal {E}}_{i}$ et du point 0 sera notée ${\mathrm {A} (e_{1},e_{2},\ldots )}$.

Si $e_{1}$, $e_{2}$, …, se réduisent au point 0,

${\mathrm {A} _{1}=\mathrm {A} (e_{1},e_{2},\ldots )}$

est un ensemble pour lequel $\mathrm {E^{1}}$ se réduit au point 0. Si $e_{1}$, $e_{2}$, … sont identiques à $\mathrm {A} _{1}$ on obtient ${\mathrm {A} _{2}=\mathrm {A} (\mathrm {A} _{1},\mathrm {A} _{1},\ldots )}$ pour lequel $\mathrm {E^{2}}$ se réduit au point 0. Et ainsi de suite.

Si ${e_{1}=\mathrm {A} _{1}}$, ${e_{2}=\mathrm {A} _{2}}$, …, pour ${\mathrm {A} (\mathrm {A} _{1},\mathrm {A} _{2},\ldots )}$, les dérivés $\mathrm {E^{1}}$, $\mathrm {E^{2}}$, … contiennent tous des points.

II. Lorsque les dérivés $\mathrm {E^{1}}$, $\mathrm {E^{2}}$, … contiennent tous des points, il existe des points communs à tous ces dérivés. Soit, en effet, $\mathrm {M} _{i}$ un point de $\mathrm {E} ^{i}$ ; $\mathrm {M} _{i}$ est aussi point de $\mathrm {E} ^{i-1}$, $\mathrm {E} ^{i-2}$, …, $\mathrm {E} ^{1}$. L’ensemble $\mathrm {M} _{1}$, $\mathrm {M} _{2}$, … a au moins un point limite qui, étant limite des points $\mathrm {M} _{i}$, $\mathrm {M} _{i+1}$, … de $\mathrm {E} ^{i}$, est point de $\mathrm {E} ^{i+1}$. Ce point appartient donc à tous les $\mathrm {E} ^{i}$^[1].

L’ensemble des points dont l’existence est ainsi démontrée est appelé le dérivé $\mathrm {E} ^{\omega }$.

Pour ${\mathrm {A} _{\omega }=\mathrm {A} (\mathrm {A} _{1},\mathrm {A} _{2},\ldots )}$, $\mathrm {E} ^{\omega }$ contient le seul point 0. Pour

$\mathrm {A} _{\omega +1}=\mathrm {A} (\mathrm {A} _{\omega },\mathrm {A} _{\omega },\mathrm {A} _{\omega },\ldots )$

le dérivé de $\mathrm {E} ^{\omega }$ se réduirait au point 0. Le dérivé de $\mathrm {E} ^{\omega }$ se note $\mathrm {E} ^{\omega +1}$, et plus généralement les dérivés successifs de $\mathrm {E} ^{\omega }$, se notent $\mathrm {E} ^{\omega +1}$, $\mathrm {E} ^{\omega +2}$, …. Il ne faut attacher aucune importance à la forme particulière des indices ici employés ; il suffit d’imaginer qu’on emploie des symboles différents pour désigner les différents dérivés.

Nous dirons de deux dérivés d’un même ensemble que l’un d’eux vient après l’autre s’il est contenu dans cet autre. Avec cette convention les mots avant et après peuvent être employés comme dans le langage ordinaire.

Jusqu’ici nous avons utilisé cette définition : Lorsqu’un dérivé contient une infinité de points et n’est pas parfait, son dérivé est par définition le premier dérivé qui vient après lui. Une seconde définition est nécessaire ; pour la formuler, remarquons d’abord que si $\mathrm {E} ^{\alpha }$, $\mathrm {E} ^{\beta }$, … sont

1. Nous venons de prouver, en somme, qu’il y a toujours des points communs à la fois à tous les ensembles $\mathrm {E} ^{1}$, $\mathrm {E} ^{2}$, …, lorsque ces ensembles sont fermés et que chacun d’eux contient tous ceux qui le suivent dans la suite $\mathrm {E} ^{1}$, $\mathrm {E} ^{2}$, …. L’ensemble de ces points est évidemment fermé.