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NOTE.

SUR LES NOMBRES TRANSFINIS.



I. — Les ensembles dérivés.

Nous avons résoudre, à la fin du Chapitre I, la question suivante :

Une fonction continue est connue à une constante additive près, variant d’un intervalle à l’autre, dans tout intervalle ne contenant aucun des points d’un ensemble  ; quelle doit être la nature de l’ensemble pour que la fonction soit complètement déterminée[1] ?

Ce problème a été résolu par M. G. Cantor, qui l’utilisa dans la théorie des séries trigonométriques. Nous allons étudier les propriétés des ensembles qui ont été employées au Chapitre I pour la résolution de cette question.

Considérons un ensemble borné de points[2]. L’ensemble de ses points limites est son premier dérivé, il se note ou . Le dérivé de est le second dérivé, il se note  ; et ainsi de suite.

I. Pour tout ensemble infini (c’est-à-dire comprenant une infinité de points) existe, c’est le principe de Bolzano-Weierstrass. Pour le démontrer, rangeons en une classe tous les nombres qui ne sont supérieurs qu’à un nombre fini de nombres de et dans la classe les autres nombres. La coupure définit un nombre qui est évidemment un point limite de et même le plus petit de ses points limites.

est évidemment fermé, c’est-à-dire contient ses points limites, donc il contient son dérivé  ; est fermé, il contient  ; et ainsi de suite.

Ces ensembles , , , … peuvent exister. Un premier cas où leur existence est évidente est celui où est parfait, car alors , , , … sont tous identiques. Dans ce cas, la définition de , , … ne présente pas d’intérêt, nous conviendrons de ne jamais parler de dérivé pour un

  1. On peut toujours supposer que l’ensemble qui figure dans cet énoncé est fermé ; il suffirait donc d’étudier seulement les ensembles fermés, mais il ne résulterait de cette limitation aucune simplification notable.
  2. Il s’agit de points en ligne droite, donc de nombres ; il n’y aurait que peu de changements s’il s’agissait d’ensembles de points dans un espace à plusieurs dimensions ; d’ailleurs l’emploi des courbes telles que la courbe de Peano permet de se borner à l’étude du cas de la droite.