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LA DÉFINITION DE L’INTÉGRALE DONNÉE PAR RIEMANN.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

mément convergente de fonctions $f_{n}$, telles que les $\mathrm {A} _{n}$ correspondants forment un ensemble partout dense. C’est cette méthode de construction qui a reçu le nom de principe de condensation des singularités^[1].

Les exemples de Riemann montrent que les fonctions, auxquelles les procédés de définition examinés dans le Chapitre précédent ne peuvent s’appliquer, ne forment pas une classe très particulière dans l’ensemble des fonctions au sens de Cauchy. Et comme la restriction^[2] que nous avons imposée, avec Cauchy, aux fonctions $f(x)$, savoir que la relation entre $f(x)$ et $x$ soit exprimable analytiquement, n’est jamais intervenue dans nos raisonnements, elle n’a simplifié ni les énoncés, ni les solutions des problèmes que nous nous sommes proposés. Il n’y a donc aucun inconvénient à dire, avec Riemann : $y$ est fonction de $x$ si, à chaque valeur de $x$, correspond une valeur de $y$ bien déterminée, quel que soit le procédé qui a permis d’établir cette correspondance. C’est cette définition que nous adopterons maintenant ; seulement, au lieu de supposer toujours que $x$ puisse être pris quelconque dans un intervalle ${(a,b)}$, nous supposerons quelquefois que $x$ doive être pris dans un certain ensemble $\mathrm {E}$ pour les points duquel la fonction $y$ sera ainsi définie, sans l’être pour tous les points d’un intervalle. Par exemple, la fonction $\left[{\frac {1}{x}}\right]!$ est définie pour l’ensemble des inverses des entiers positifs.

Avant d’entreprendre l’étude de l’intégration des fonctions au sens de Riemann, je vais donner celles de leurs propriétés qui nous seront utiles dans la suite.

Si l’on sait qu’une fonction reste toujours comprise entre deux nombres finis $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$, on dit qu’elle est bornée^[3]. C’est à l’étude

1. Cette dénomination est due à Hankel. Hankel avait cru pouvoir faire des raisonnements généraux au sujet de cette méthode ; ce qu’on en doit conserver se réduit à des applications immédiates des propriétés connues des séries uniformément convergentes.
2. Je n’ai pas à rechercher ici si cette restriction est effective ou illusoire.
3. Il est bien entendu qu’une fonction non bornée peut être cependant toujours finie ; c’est le cas de la fonction $f(x)$ telle que
   $f(0)=0$,$f(x)={\frac {1}{x}}$pour$x\neq 0$.

   Si l’on savait seulement d’une fonction qu’elle est constamment inférieure à un nombre fixe, on dirait qu’elle est bornée supérieurement.